행렬

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행렬(行列, matrix)은 수를 네모꼴로 배열한 것으로, 늘어놓은 수들을 괄호로 묶어 표현한다.

[편집] 정의

행렬의 가로줄을 한자어로 행이라고 하고, 세로줄을 열이라고 한다. 여기에서 행렬이라는 이름이 유래했다.

예) $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

위의 예에서 행렬 A는 두 개의 행 세 개의 열로 이루어져 있다. 어떤 행렬이 m개의 행과 n개의 열로 구성되어 있으면, m by n 행렬, 또는 m×n 행렬이라고 쓴다. m과 n은 차원(次元, dimension)이라고 한다.

$a i j$ 는 A행렬의 i번째 행, j번째 열에 있는 원소를 뜻한다.

벡터를 1행 행렬 또는 1열 행렬로 생각할 수도 있다. 수를 1x1 행렬로 생각할 수도 있다.

[편집] 연산

[편집] 덧셈

행렬의 합은 같은 자리에 있는 원소의 합으로 정의한다.

(A + B) i j = A i j + B i j

예) $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

[편집] 스칼라 곱

한 행렬에 숫자를 곱하는 연산은, 각 원소에 그 수를 곱하는 방식으로 정의한다.

(k A) i j = k A i j

예) $2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\ 2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

[편집] 곱셈

행렬 간의 곱은 다음과 같이 정의한다.

(AB)_ij =	∑	A_ikB_kj
	k

이 때, A의 열 갯수와 B의 행 갯수가 같아야 곱셈이 정의된다.

예) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$