Anàlisi cumplessa

From Wikipedia

Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada.

L’anàlisi cumplessa a l’è la branca da la matemàtica ch’a la invèstiga i funziun da nümar cumpless.

L’anàlisi cumplessa la sa referiss particülaarmeent a i funziun analítich da variàbil cumpless, cugnussüüt cuma funziun olomòorf.

[redatá] Funziun cumpless

Una funziun cumplessa a l’è una funziun in che la variàbil independeent e la variàbil dependeent i-è tüti-e-dò di nümar cumpless. Cun plüü da precisiun, una funziun cumplessa a l’è una funziun definida int un sübcungjuunt dal plan cumpless, a valuur cumpless.

Par cada funziun cumplessa, taant la variàbil independeent cuma inscí la variàbil dependeent i-sa pöö separá int i söö cumpuneent reala e imaginària.

$z = x + iy\,$ e

$w = f(z) = u(z) + iv(z).\,$

int úe $x,y,u(z),v(z) \in \mathbb{R}.$

Da chí sa dedüiss che i cumpuneent da la funziun,

$u = u(x,y)\,$ i

$v = v(x,y),\,$

i-sa pöö interpretá cuma funziun reaal da do varàbil reaal $x\,$ i $y\,$ .

L’estensiun da funziun reaal (espunenziaal, lugarítm, funziun trigumumétrich) al dumini cumpless a l’è duvrada nurmalameent cuma intrudüzziun a l’anàlisi cumplessa.

[redatá] Funziun ulumòorf

I funziun ulumòorf i-è di funziun cumpless definiit int un sübcungjuunt deerf dal plan cumpless, ch'i-sies diferenziàbil in sentüü cumpless. La diferenziabilitaa cumplessa la gh'a di cunsegueenz fisc plüü fòort che la diferenziabilitaa üsüala (reala). Par esempi, i funziun ulumòorf i-è infinitameent diferenziàbil, un fatt ch'al è luntan dal vess ceert par i funziun diferenziàbil reaal. La plüpaart di funziun elementaar, cun deent la funziun espunenziala, i funziun trigunumétrich i tüti i funziun pulinumiaal i-è ulumòorf.

[redatá] Resültaa principaal

Un ütiil centraal in l'anàlisi cumplessa al è ul camin integraal. La integrala sü un camin saraa d'una funziun ch'a síes ulumorfa in tücc i puunt da l'àrea invultada pal camin saraa a l'è sempru zero (Teurema integraal da Cauchy). I valuur d'una funziun ulumorfa int un diisch i sa pöö calcülá mediaant una fórmüla integrala da camin sura la fruntera dal diisch (Fórmüla integrala da Cauchy). I integraal da camin íntal plan cumpless i-è duvraa da spess par determiná di integraal reaal cumplicaat: chí al è ul sitt int úe la teuría di resídü, intra i òolt, a l'è ütil (vidée métuud d'integrazziun da cuntuurn).

Si una funziun la gh'a di 'pòol' u 'singülaritaa' int un puunt, vargott al vöör dí che in cheest puunt ul valuur da la funziun al 'scapa via' e al è mia finii. In cheest caas-chí al sa pöö calcülá ul resídü da la funziun in cheest pòol, i cheest resídü i sa pöö druvá par calcülá di integraal da camin ch'i-invòolf la funziun. Cheest-chí al è ul cuntegnüü dal teurema di resídü. Ul cumpurtameent di funziun ulumòorf vesin a i singülaritaa essenziaal al sa descriif íntal teurema da Weierstrass-Casorati. I funziun ch'i gh'a noma pòol, però mia singülaritaa essenziaal, i sa nòmina merumòorf: in cheest caas-chí i-è duvraat i seri da Laurent, símel a i seri da Taylor però cunt anca puteenz negatiif, par stüdiá ul cumpurtameent di funziun vesin a i singülaritaa.

Una funziun limitada ch'a sies ulumorfa in tütt ul plan cumpless al è necessariameent custaant: cheest-chí al è ul Teorema de Liouville. Al sa pöö druvá par dá una demustrazziun natürala e cürta dal Teurema fundamentaal da l'Àlgebra, ch'al diis che ul còorp di nümar cumpless al è algebraicameent saraa.

Una pruprietaa impurtaant di funziun ulumòorf a l'è che, si una funziun a l'è ulumorfa int un dumini simplameent connex, alura i söö valuur i-è determinaa paj söö valuur int un qual-sa-vöör sübdumini. (Al è assee un sübcungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun). Vargott al permett l'estenziun da la definizziun da funziun cuma la funziun zeta da Riemann, inizzialemeent definiit in tèrmin da summ infiniit cunvergeent noma in di dumini limitaa, a bott tütt ul plan cumpless. A i vöölt, cuma íntal caas dal lugariitm in caamp cumpless al è impussíbil cuntinüá analíticameent una funziun a un dumini mia simplameent cuness dal plan cumpless, però al è pussíbil la esteend a una funziun ulumorfa sü una süperfiis da Riemann, a che a pudemm pensá chí cuma un dumini dal plan cumpless a fisc fujett.

Fin chí l'anàlisi cumplessa int una variàbil. Apó la gh'è una turia fisc rica in divèers variàbil cumpless, intúe di pruprietaa analítich, cuma l'espansiun in séria da puteenz, i sigüta a varí, però un bell puu da oltri prupietaa i-è mia plüü vàlid. Ul teurema da la mapa da Riemann, sura i relazziun cunfuurm da ceert dumini dal plan cumpless, forsi ul resültaa plüü impurtaant in la teuria ünidimensiunala, al è luntan dal vess veer in dimensiun süperiuur.

[redatá] Stòria

L'anàlisi cumplessa a l'è vüna di braanch clàssich da la matemàtica, cunt i söö ariis al sécul XIX, malgraa che anteriuurmeent s'eva gjanmò faa vargott sü chesta línia. Di matemàtich impurtaant in chesta branca i-è Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, i fisc òolt al sécul XX, Tradizziunalameent, l'anàlisi cumplessa, in particülaar la teuria da l'aplicazziun cunfurma, la gh'a susseen aplicazziun in l'ingegnería e in la teuría di nümar. Receentmeent, ul sücess da la dinàmica ulumorfa al a rendüda fisc pupülara: regurdemm i fractaal par l'iterazziun da funziun ulumòorf, intra che ul cungjuunt da Mandelbrot. Una altra aplicazziun impurtaant da l'anàlisi cumplessa al dí d'incöö a l'è la teuría di còord, una teuría da caamp quantístega cunfurmameent invarianta.

[redatá] Vidée apó

Divèers variàbil cumpless
Teurema da Runge

[redatá] Refereenz

Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).