複素解析

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複素解析（ふくそかいせき、complex analysis）とは、複素数の関数を研究する数学の分野であり、正則関数とよばれる複素数値の解析的関数が主に研究される。複素解析の手法は応用数学を含む数学、理論物理学、工学などの多くの分野でもちいられている。複素関数論（ふくそかんすうろん）、または略して関数論とも呼ばれる。

[編集] 複素関数

複素関数とは自由変数と従属変数がともに複素数の範囲で与えられるようなものである。より正確に言えば複素平面の部分集合上で定義された複素数値の関数が複素関数とよばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とにわけて考えることができる。

$z = x + iy\, w = f(z) = u(z) + iv(z).\,$

ここで $x,y,u(z),v(z) \in \mathbb{R}.$

従って複素関数の成分

$u = u(x,y)\,$ と

$v = v(x,y),\,$

はふたつの実変数x, yについての実数値関数だと考えることができる。

複素解析の初等的な問題として指数関数、対数関数、三角関数などの実関数の複素変数への拡張があげられる。

[編集] 正則関数

詳細は正則関数を参照

正則関数とは複素平面の開集合上で定義された微分可能な複素数値関数のことである。複素微分可能性は通常の（実）微分可能性よりも強い結論を導き、例えば正則関数は自動的に無限回微分可能になる（実微分可能関数ではこれは全く成立しない）。指数関数、三角関数、多項式関数など多くの初等関数を正則関数と見立てることができる。

[編集] 主な結果

複素解析においてよくもちいられる道具立てに線積分がある。コーシーの積分定理によって、閉じた経路で囲まれた領域の内側全体で正則になっている関数を、その経路上線積分した値はかならず 0 になるということがわかる。もし正則関数が特定の点を極（特異点）にしているとき、つまりそこで関数の値が「爆発」し有限の値をとらないときには、その点での関数の留数を求めることで線積分の値を決定できる。各複素数における正則関数の値は、その点のまわりの円周上での（考えている正則関数に応じて構成される有理形関数の）線積分の値として求めることができる（コーシーの積分公式）。また、正則関数の線積分に関する留数の理論を用いることで複雑な実積分の値を決定することもできるようになる。

ワイエルシュトラス・カソラティの定理によって真性特異点のまわりでの正則関数の挙動に関する驚くべき性質が導かれる。極のみを持ち真性特異点を持たないような関数は有理形関数とよばれる。特異点のまわりでの関数の挙動はテイラー級数に類似のローラン級数によって記述される。

リューヴィルの定理によって複素平面全体で有界な正則関数は定数関数に限られることがわかるが、これをもちいて複素数体が代数閉体であるという代数学の基本定理の自然で簡単な証明が与えられる。

正則関数の重要な性質に、正則な関数の連結な領域上全体での挙動が任意のより小さい領域上の挙動によって決定されてしまう（一致の原理）、というものがある。大きい領域全体でのもとの関数は小さい領域上に制限して考えたものの解析接続とよばれる。このような原理によってリーマンゼータ関数など、限られた領域上でしか収束しない級数によって定義されていた関数を複素平面全体に正則関数や有理形関数として拡張することが可能になる。場合によっては自然対数などのように複素平面内の単連結でない領域への解析接続が不可能なこともあるが、リーマン面とよばれる曲面を導入することでその上の正則関数としての「解析接続」を考えることができる。

上記の結果はすべて一変数に関する複素解析のものであるが、多次元の複素解析に関しても豊かな理論が存在し、ベキ級数展開などの解析的な性質が成立している。一方で共形性などの一変数正則関数が持つ幾何学的な性質は拡張されず、リーマンの写像定理が示すような複素平面の領域に関する共形関係性など一変数の理論における最も重要な結果が高次元においてはもはや成立しない。

[編集] 他の分野への応用

伝統的に複素解析、特に共形写像の理論は工学に多くの応用があるが、解析的数論全般にわたっても応用されている。近年は複素力学系の勃興や正則関数の繰り返しによって与えられるフラクタル図形（有名な例としてマンデルブロー集合が挙げられる）などによって有名になっている。ほかの重要な応用として共形不変な量子場の理論である弦理論が挙げられる。また、複素解析は電力工学をはじめとして工学全体を通じてさまざまな題材にも応用されている。