Decimale breuk
Van Wikipedia
Een decimale breuk is een breuk met als noemer een macht van 10, dus 10, 100, 1000, etc. Decimale breuken worden niet als breuk geschreven maar als een rij cijfers, waarbij de fractie normaal gesproken gescheiden wordt van het gehele deel door een komma (zoals in de Lage Landen), of een decimale punt (in Angelsaksische landen). Decimale breuken worden gebruikt om rationale getallen (breuken) weer te geven.
Niet alle breuken zijn als een (volledige) decimale breuk te schrijven. Zo is 1 : 3 = 0,33333333... In zo'n geval spreekt men van een repeterende (decimale) breuk.
[bewerk] Staartdeling
Elk rationaal getal kan als decimale breuk, al dan niet repeterend, geschreven worden. Dit kan ingezien worden door de deling van teller en noemer uit te voeren als een staartdeling.
Elke breuk, als de uitkomst géén geheel getal of een decimale breuk met een eindig aantal decimalen is, is altijd een repeterende decimale breuk. Aan de hand van het volgende voorbeeld zien we waarom dat zo is.
We delen 7 door 13; hieronder staat een deel van de staartdeling:
13 / 7,00000000 \ 0,538461...
6,5
---
50
39
--
110
104
---
60
52
--
80
78
--
20
13
--
7
Nu is er een rest 7, waardoor er een situatie ontstaat die al eerder is opgetreden. De geschiedenis herhaalt zich: er ontstaat een repeterend gedeelte.
Omdat er bij deling door 13 hoogstens 13 veschillende resten kunnen ontstaan, gaat de deling op bij rest 0, of ontstaat een herhaling van zetten.
Gemakkelijk is in te zien dat bij een deler n na hoogstens n stappen de deling opgaat of herhaling optreedt.
Conclusie: iedere breuk van het type m⁄n (waarbij m en n gehele getallen zijn) is
- ofwel een geheel getal, bijv. 8⁄4 = 2;
- ofwel een eindige decimale breuk (bijvoorbeeld: 2⁄4 = 0,5);
- ofwel een repeterende breuk waarin na ten hoogste n-1 decimalen een herhaling optreedt.
[bewerk] Historie
Voor 1600 werd voor het rekenen met niet-gehele getallen normaal gesproken gewerkt met algemene breuken, gebaseerd op handige noemers. Er waren wel gestandaardiseerde methoden die met 60-tallige breuken werkten, maar over het algemeen was het heel moeilijk om aan de breuk te zien in hoeverre die het gewenste niet-gehele getal werkelijk benaderde. Decimale breuken werden al wel gebruikt, maar alleen om te kunnen worteltrekken. In het dagelijks leven werkte men daar niet mee.
In 1586 schreef Simon Stevin zijn beroemde werk De Thiende, waarin hij het algemeen gebruik van breuken op basis van het tientallig stelsel beschreef. Hij gebruikte daarvoor nog niet de notatie met een decimale punt of decimale komma zoals wij dat nu doen, maar een notatie waar achter elk cijfer in een cirkel de (negatieve) macht van 10 kwam te staan die er op dat cijfer van toepassing was. Wat wij nu als 6,87 schrijven, schreef Simon Stevin als 6(0)8(1)7(2).
Pas toen Bartholomaeus Pitiscus in zijn trigonometrische tabellen in 1612 de decimale scheiding in de vorm van een punt (of komma?) gebruikte, en dit gebruik in 1614 en 1619 door John Napier in zijn artikelen over logaritmen werd erkend, werd de huidige notatie van de decimale breuk in gebruik genomen.
