Delen door nul

Van Wikipedia

Delen door nul is een wiskundige bewerking waarmee men een deling bedoelt waarvan de deler het getal nul is. Zo'n deling kan men in symbolen uitdrukken als , met a het deeltal. Of men aan deze uitdrukking een zinvolle goed gedefinieerde waarde kan toekennen hangt ervan af hoe men ze interpreteert.

Inhoud 1 Eenvoudig geval en intuïtieve benadering 2 Algebraïsche interpretatie 2.1 Denkfouten gebaseerd op deling door nul 2.2 Abstracte algebra 3 Limieten en deling door nul 4 In wiskundige analyse 5 Andere getallenstelsels 6 Bij computers

[bewerk] Eenvoudig geval en intuïtieve benadering

De deling: , waarbij 'x' een gewoon getal is, kan niet zomaar uitgerekend worden. Bij delen door nul is de uitkomst in feite onbepaald. Dit is eenvoudig in te zien: stel dat 'y' het resultaat is van , dan moet , terwijl het vermenigvuldigen van een getal met nul altijd "nul" als resultaat geeft.

De uitkomst kan echter wel beredeneerd worden door het te benaderen. Wanneer door een zeer klein getal gedeeld wordt, zal de uitkomst een zeer groot getal opleveren. Een positief getal (dus ongelijk nul) door nul delen levert dan ook als uitkomst een oneindig groot positief getal op. Daarmee is echter meestal niet verder te rekenen.

[bewerk] Algebraïsche interpretatie

Een natuurlijke manier waarop men in de wiskunde een deling door nul interpreteert, is door eerst een deling in het algemeen uit te drukken door middel van andere wiskundige bewerkingen. Wanneer men de normale rekenkundige regels op gehele getallen, rationale getallen, reële getallen en complexe getallen toepast, is de waarde van een deling door nul niet gedefinieerd. De reden ligt in de definitie van de deling als de inverse bewerking van de vermenigvuldiging. Dit betekent dat de waarde van

de oplossing x is van de vergelijking

overal waar zo'n oplossing bestaat en uniek is. Anders is de uitdrukking onbepaald.

Voor b = 0, kan men de uitdrukking bx = a herschrijven als 0x = a of dus simpelweg 0 = a. In dit geval heeft de uitdrukking bx = a dus geen oplossingen als a niet gelijk is aan 0. De uitdrukking heeft elke x als oplossing als a gelijk is aan 0. In beide gevallen is niet gedefinieerd. Omgekeerd geldt ook dat voor de getallenverzamelingen die hierboven vermeld zijn, de uitdrukking altijd gedefinieerd is als b niet gelijk is aan 0.

[bewerk] Denkfouten gebaseerd op deling door nul

Het is mogelijk dat delingen door nul verborgen zitten in een algebraïsche afleiding, wat tot foutieve bewijzen kan leiden, zoals de volgende:

• Voor elk reëel getal x:

• Beide leden splitsen in factoren, op een verschillende manier:

• Beide leden delen door x − x:

• Aangezien dit geldt voor elke x, kunnen we hier x = 1 in vervangen.

De denkfout is de veronderstelling dat de deling door x − x = 0 gedefinieerd is.

Wanneer men in de praktijk tijdens een algebraïsche afleiding deelt door een term, moet men ofwel expliciet aannemen dat de term niet gelijk is aan nul, ofwel een apart bewijs geven dat de term nooit nul kan worden.

[bewerk] Abstracte algebra

Gelijkaardige uiteenzettingen gelden ook in meer algemene algebraïsche structuren, zoals ringen of lichamen. In een lichaam (in België: veld), heeft elk niet-nul element een inverse voor de vermenigvuldiging. Dus net als hierboven, treden problemen alleen op wanneer men probeert te delen door nul. In andere ringen echter, kan ook deling door een niet-nul element problemen opleveren. Beschouw bijvoorbeeld de ring Z/6Z van gehele getallen modulo 6. Welke betekenis moeten we geven aan de uitdrukking

Dit moet de oplossing x zijn van de vergelijking

Deze vergelijking heeft echter twee verschillende oplossingen, x = 1 en x = 4, dus de uitdrukking is niet gedefinieerd. Het probleem treedt op omdat 2 hier geen inverse heeft voor de vermenigvuldiging.

[bewerk] Limieten en deling door nul

Op het eerste gezicht lijkt het mogelijk om te definiëren als de limiet van voor b gaat naar 0. Voor elke a groter dan nul, geldt dat

en

We kunnen overwegen de tweede limiet compleet te negeren en te definiëren als voor positieve a, en voor negatieve a. Deze definitie is echter niet goed bruikbaar, omdat de positieve en negatieve oneindig geen reële getallen zijn, en de vergelijking

nog steeds geen oplossing heeft voor een eindige a. Bovendien is er geen duidelijke definitie voor die men kan afleiden uit de limiet van een breuk. De limiet

bestaat niet. Limieten van de vorm

waarin zowel f(x) als g(x) naar nul gaan 0 als x naar nul gaat 0, kunnen naar gelijk welke waarde convergeren, of helemaal niet convergeren. Zie de Regel van L'Hôpital voor een bespreking en voorbeelden van limieten van breuken.

[bewerk] In wiskundige analyse

In de functionaalanalyse kan de functie

uitgebreid worden tot een distributie over de gehele ruimte van reële getallen (door gebruik te maken van Cauchy principal values). Het geeft echter geen zin om de 'waarde' van deze distributie te bepalen voor x = 0; een gesofisticeerd antwoord verwijst naar de singuliere drager van deze distributie.

[bewerk] Andere getallenstelsels

Hoewel delen door nul onbepaald is voor reële en gehele getallen, is het mogelijk om deling door nul consistent te definiëren in andere wiskundige structuren, bijvoorbeeld op de Riemann bol (zie ook polen in de complexe analyse). Bij berekeningen met hyperreële getallen en surreële getallen is deling door niet-nul infinitesimalen mogelijk. Als een getallenverzameling een commutatieve ring vormt, zoals die van de gehele getallen, de reële getallen en de complexe getallen, kan die uitgebreid worden tot een wiel (wiskunde) waarin deling door nul altijd mogelijk is, maar in dat geval heeft de deling een iets andere betekenis.

[bewerk] Bij computers

De IEEE 754 standaard specifieert dat elke rekenkundige bewerking met drijvendekommagetallen, inclusief deling door nul, een welbepaald resultaat moet hebben. Volgens die regels is a/0 positief oneindig als a positief is, negatief oneindig als a negatief is, en NaN ("not a number") als a = 0. Deze definities zijn afgeleid van de eigenschappen van de limieten die hierboven besproken werden. Tegenwoordig is de IEEE 754 de meeste gebruikte specificatie, en wordt onder andere door Intel processoren gebruikt.

Delingen met gehele getallen kunnen op een andere manier verwerkt worden dan met drijvende komma. Intel processoren genereren een interrupt wanneer een poging wordt gedaan tot deling door nul. Het gebruikelijk resultaat is dat het programma afbreekt op de plaats waar dit gebeurde. Om er dus voor te zorgen dat elke bewerking een eindig numeriek resultaat (drijvende komma) teruggeeft, en een interrupt vermeden wordt, kan een computer weigeren om een deling uit te voeren als de deler nul is.