Ring (wiskunde)
Van Wikipedia
| Algebraïsche structuren |
|---|
| Monoïde Groep |
| Moduul |
| Categorie |
In de wiskunde is een ring een algemeen begrip van verzamelingen waarbinnen men kan optellen en vermenigvuldigen volgens bepaalde, voor velen natuurlijk regels. Zo zijn de gehele getallen (
), de rationale getallen (
) en de reële getallen (
) met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging voorbeelden van ringen. Ook vierkante matrices en verzamelingen van polynomen zijn voorbeelden van ringen. Het begrip ring, dat uit onderstaande definitie van Emmy Noether afkomstig is, speelt een belangrijke rol in veel gebieden van de zuivere wiskunde, met name de algebra.
Inhoud |
[bewerk] Formele definitie
Een ring (R,+,×) is gedefinieerd als een niet-lege verzameling R, waarop twee bewerkingen + en × zijn gedefinieerd (een optelling en een vermenigvuldiging) die voldoen aan een aantal voorwaarden (axioma's). De optelling van twee elementen a en b uit de ring R noteert men meestal met a+b en de 'vermenigvuldiging' van a en b met a×b, a.b of kortweg ab. De voorwaarden waaraan de twee bewerkingen moeten voldoen zijn:
- Voor alle elementen a en b uit R, zullen a+b en a×b weer tot R behoren.
R is gesloten voor beide bewerkingen. - Voor alle elementen a, b en c uit R, zal (a + b) + c = a + (b + c) en (a×b)×c=a×(b×c).
Beide bewerkingen zijn associatief. - Er bestaat een element 0 uit R zodat voor alle a uit R geldt dat a+ 0 = 0 + a = a.
Men noemt 0 het neutraal element (voor de 'optelling'). - Voor elk element a uit R bestaat er een element -a uit R zodat a+(-a) = 0 en -a + a = 0.
Elk element uit R heeft een inverse voor de 'optelling'. - Voor alle elementen a en b uit R zal a + b = b + a.
De optelling is commutatief (m.a.w. (R,+) is een Abelse groep). - Voor alle elementen a, b en c uit R, zal a×(b+c) = a×b + a×c.
Voor alle elementen a, b en c uit R, zal (a+b)×c = a×c + b×c.
De vermenigvuldiging is links-distributief en rechts-distributief t.o.v. de optelling.
[bewerk] Voorbeelden van ringen
- de gehele getallen () met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging.
- de rationale (), reële () en complexe getallen (
) met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging. - voor een gegeven ring R de polynoomring in één veranderlijke R[x] of meer algemeen de polynoomring over R in een vast (eventueel oneindig) aantal veranderlijken.
- voor een gegeven ring R en een gegeven natuurlijk getal n de ring Mn(R) van
-matrices over R met paarsgewijze optelling en matrix-vermenigvuldiging. - voor een positief geheel getal n de ring (
) van gehele getallen modulo n. - C[0,1], de verzameling van alle continue functies van het interval [0,1] naar , met paarsgewijze optelling en vermenigvuldiging.
[bewerk] Bijzondere ringen
Als de vermenigvuldiging eveneens commutatief is (a * b = b * a), spreken we van een commutatieve ring. Als een element e van de ring de eigenschap heeft dat e * a = a = a * e voor elke a uit de ring, is e een één-element of identiteit van de ring. Zo'n ring heet een ring met één-element. Volgens sommige wiskundigen 'hoort' een ring echter (per definitie) een één-element te hebben. De verzameling even gehele getallen met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging is een voorbeeld van een commutatieve ring zonder één-element.
Het is in een ring mogelijk dat het product van twee elementen a en b beide ongelijk aan 0, toch gelijk is aan 0. Zulke elementen worden nuldelers genoemd.
Een commutatieve ring zonder nuldelers heet een integriteitsgebied.
Een lichaam is een speciaal geval van een commutatieve ring zonder nuldelers.
