Differentiaalmeetkunde

Van Wikipedia

Differentiaalmeetkunde is een tak van de wiskunde die gekromde ruimten onderzoekt. Daarbij gaat de meeste aandacht naar het begrip afstand. Oorspronkelijk bestudeerde men differentieerbare krommen en oppervlakken in de driedimensionale reële ruimte. Een differentieerbare kromme is een afbeelding die onbeperkt continu differentieerbaar is, en waarvan de eerste afgeleide (snelheidsvector) nergens nul wordt. Een differentieerbaar oppervlak is een deelverzameling van R³ waarbij met ieder punt minstens één kaart geassocieerd wordt, dit is een onbeperkt continu differentieerbare bijectie (diffeomorfisme) tussen een omgeving van dat punt naar een open deelverzameling van R².

De raakruimte van een punt in een oppervlak is de verzameling van alle snelheidsvectoren (in dat punt) van in het oppervlak ingebedde krommen.

Carl Friedrich Gauss trachtte als eerste los te komen van de inbedding in R³ en bestudeerde intrinsieke meetkunde van oppervlakken, dat wil zeggen de plaatselijke eigenschappen van oppervlakken die ongewijzigd blijven onder een afstandbehoudende transformatie (isometrie). Het belangrijkste object is daarbij de metrische tensor, een in ieder punt van het oppervlak gedefinieerde positief definiete symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte.

Het werk van Gauss werd subliem voortgezet door zijn leerling Bernhard Riemann, die de intrinsieke meetkunde van willekeurige n-dimensionale variëteiten beschreef en daarmee de meetkunde definitief onttrok aan het Euclidische kader.

Een geodeet is een kromme, ingebed in een n-dimensionale variëteit, die op kleine schaal de kortste afstand tussen twee punten aangeeft.

De krommingstensor van Riemann is een multilineaire 4-vorm op de raakruimte die op intrinsieke wijze de kromming van de variëteit aangeeft, zonder te verwijzen naar een hogerdimensionale inbedding.

De intrinsieke Riemannse meetkunde van gekromde ruimten, onafhankelijk van eventuele inbeddingen in hogerdimensionale Euclidische ruimten, zou later de basis vormen voor de consistente formulering van de speciale en algemene relativiteitstheorie (met één wijziging: de metrische tensor is niet langer positief definiet, maar heeft één negatieve en drie positieve eigenwaarden). In de algemene relativiteitstheorie wordt de krommingstensor van het heelal rechtstreeks in verband gebracht met de massaverdeling van de materie. De baan van een vrij bewegend puntdeeltje of een lichtstraal is een geodeet.