Krommingstensor van Riemann

Van Wikipedia

De krommingstensor van Riemann, kortweg krommingstensor of Riemann-tensor is een belangrijk object in de differentiaalmeetkunde, de tak van de wiskunde die gekromde oppervlakken en ruimten (Riemann-variëteiten) bestudeert.

De krommingstensor geeft de mate aan waarin een oppervlak of hogerdimensionale ruimte meetkundig verschilt van een Euclidische ruimte ("vlakke ruimte"). Typische stellingen uit de Euclidische meetkunde die niet langer opgaan in gekromde ruimten, zijn:

de som van de hoeken van een driehoek bedraagt 180 graden ( $π$ radialen);
de oppervlakte van een sfeer (boloppervlak) is 4 maal pi maal het kwadraat van de straal.

De krommingstensor is niet één getal, ook geen getallenrij of getallenvierkant (matrix), maar een "vierdimensionaal" getallenschema. Differentiaalmeetkundigen spreken van een vierderangs-tensor.

De krommingstensor is genoemd naar Bernhard Riemann, samen met Carl Friedrich Gauss de grondlegger van de intrinsieke differentiaalmeetkunde.

Inhoud

1 Definitie
2 Covariante notatie
3 Symmetrieën
4 Kenmerk van lokaal vlakke variëteiten
5 Uitbreiding naar semi-Riemann-variëteiten

[bewerk] Definitie

Zij $(M, g)$ een $n$ -dimensionale Riemann-variëteit. Noteer $[i j, k]$ voor de Christoffelsymbolen van de eerste soort, en $\Gamma^i_{jk}$ voor de Christoffelsymbolen van de tweede soort. De krommingstensor is de tensor van rang 4 waarvan de (1,3)-componenten (éénmaal contravariant en driemaal covariant) gegeven worden door de formule

$R^i_{jkl}={\partial\Gamma^i_{jl}\over\partial x^k}-{\partial\Gamma^i_{jk}\over\partial x^l} +\Gamma^\mu_{jl}\Gamma^i_{\mu k}-\Gamma^\mu_{jk}\Gamma^i_{\mu l}$

Hierbij is de sommatieconventie van Einstein gehanteerd, d.w.z. dat we in de derde en vierde term sommeren over alle mogelijke waarden van de index $\mu=1,\ldots,n$

Men kan bewijzen dat deze functies inderdaad de componenten van een tensor vormen, door gebruik te maken van de coördinatentransformatie van Christoffelsymbolen. De Christoffelsymbolen zelf zijn niet tensorieel.

[bewerk] Covariante notatie

Soms wordt de Riemann-krommingstensor ook viermaal covariant genoteerd, dus als een (4,0)-tensor, met de eenvoudige overgangsformule

$R_{ijkl}=g_{i\gamma}R^\gamma_{jkl}$

Men kan deze (4,0)-tensor ook rechtstreeks uitdrukken in de Christoffelsymbolen

$R_{ijkl}={1\over2}\left({\partial^2g_{il}\over\partial x^j\partial x^k} +{\partial^2g_{jk}\over\partial x^i\partial x^l} -{\partial^2g_{ik}\over\partial x^j\partial x^l} -{\partial^2g_{jl}\over\partial x^i\partial x^k}\right) +g^{\alpha\beta}\left([jk,\alpha].[il,\beta]-[ik,\alpha]-[jl,\beta]\right)$

(de tweede term is een som over $α$ en $β$ ).

Hier duidt g_ij een component van de metrische tensor aan, en g^kl een element van zijn inverse matrix.

[bewerk] Symmetrieën

A priori kan een vierderangstensor tot $n 4$ onafhankelijke componentfuncties hebben. Bij de Riemann-tensor wordt dit aantal sterk beperkt door een aantal symmetrieën ten opzichte van bepaalde permutaties van de indices:

antisymmetrisch in de eerste twee indices: $R i j k l = - R j i k l$
antisymmetrisch in de laatste twee indices: $R i j k l = - R i j l k$
verwisselbaarheid van de eerste twee met de laatste twee indices: $R i j k l = R k l i j$
cyclische permutatie van de laatste drie indices $R i j k l + R i l j k + R i k l j = 0$

De tweede symmetrie volgt rechtstreeks uit de eerste en de derde; men kan ook aantonen dat de derde symmetrie rechtstreeks volgt uit de eerste, de tweede en de vierde.

Met behulp van deze symmetrieën kan men ook aantonen dat de Riemann-tensor (opgevat als een multilineaire functie $R (X, Y, Z, W)$ van vier raakvectoren) volledig vastligt door zijn gedrag in de tweedimensionale deelruimten van de raakruimte. Als $R (X, Y, X, Y) = 0$ voor alle $X,Y\in T_pM$ , dan is $R (X, Y, Z, W) = 0$ voor alle $X,Y,Z,W\in T_pM$ .

In coördinaten uitgedrukt, betekent dit dat de functies $R i j i j$ ( $i,j=1,\ldots,n$ ) de Riemann-tensor volledig vastleggen. Samen met de symmetrie (dubbele antisymmetrie) in $i$ en $j$ levert dit dat er geen $n 4$ , maar hoogstens ${n(n+1)\over2}$ onafhankelijke componenten zijn.

[bewerk] Kenmerk van lokaal vlakke variëteiten

De krommingstensor van een $n$ -dimensionale Riemann-variëteit is overal 0 als en slechts als de variëteit lokaal isometrisch is met de Euclidische ruimte $\mathbb{R}^n$ .

Merk op dat de isometrie slechts lokaal is, dus op voldoende kleine omgevingen van ieder gegeven punt $p$ . Zo kan men bijvoorbeeld de torus $\mathbb{T}^2$ uitrusten met een metrische tensor die een vlakke ruimte oplevert, maar er bestaat geen globale isometrie $\mathbb{T}^2\to\mathbb{R}^2$ .

[bewerk] Uitbreiding naar semi-Riemann-variëteiten

De definities van de Christoffelsymbolen en de Riemann-tensor hangen niet af van het gegeven dat de metrische tensor positief definiet is, dus ook een semi-Riemann-variëteit (en in het bijzonder, een Lorentz-variëteit) heeft een krommingstensor. "Euclidische ruimte" moet dan vervangen worden door een constante, maar niet langer positief definiete, metriek $g$ op $\mathbb{R}^n$ .

Het begrip kromming van Lorentz-variëteiten treedt op in de algemene relativiteitstheorie.

Categorie: Meetkunde

Krommingstensor van Riemann

Van Wikipedia

Inhoud

[bewerk] Definitie

[bewerk] Covariante notatie

[bewerk] Symmetrieën

[bewerk] Kenmerk van lokaal vlakke variëteiten

[bewerk] Uitbreiding naar semi-Riemann-variëteiten

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen