Integratie door substitutie

Van Wikipedia

In de integraalrekening is substitutie een techniek om primitieve functies te bepalen en integralen op te lossen. Het is een van de meest gebruikte technieken om primitieve functies te vinden en volgt uit de kettingregel voor afgeleiden. Eerst volgt de formele regel, daarna verduidelijkende voorbeelden.

[bewerk] Substitutieregel

Stel $f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}$ is een continu functie en $\varphi :\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to \left[ {a,b} \right]$ een functie die bijectief en differentieerbaar is met $\varphi \left( \alpha \right) = a$ en $\varphi \left( \beta \right) = b$ , dan geldt:

$\int_a^b {f\left( x \right)dx} = \int_\alpha ^\beta {f\left( {\varphi \left( t \right)} \right)\varphi '\left( t \right)dt}$

Dit is plausibel te maken door de substitutie $x = \varphi \left( t \right)$ . Dan is:

$\frac{dx}{dt} = \varphi '\left( t \right)$

of anders geschreven

$dx=\varphi '\left( t \right)dt$

Omdat de functie f integreerbaar is, kan de integraal vanwege de hoofdstelling van de integraalrekening uitgedrukt worden in een primitieve F van f:

$\int_a^b {f\left( x \right)dx} = F(b)-F(a) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$

[bewerk] Klassieke substituties

Voorbeeld 1

We weten dat $\int {\sin \left( x \right)dx = - \cos \left( x \right) + C}$ . Maar stel dat we $\int {\sin \left( {3x - 2} \right)dx}$ zoeken, dan gaat deze integraal door de substitutie $3x - 2= y \,$ , dus met $dx = \frac 13 dy$ , over in

$\int \sin(3x - 2)dx = \frac 13 \int \sin (y)dy = - \frac 13 \cos(y) + C = - \frac 13 \cos (3x - 2) + C$

Voorbeeld 2

Nu passen we de formule in de andere richting toe, van rechts naar links dus. We beschouwen de volgende integraal:

$\int\sin^3(t)dt = \int\sin^2(t)\sin(t)dt = \int\left(1-\cos^2(t)\right)\sin(t)dt$

Door de substitutie $x = \cos(x)\,$ , gaat deze over in:

$\int\left(1-\cos^2(t)\right)\sin(t)dt= -\int (1-x^2)dx= -x + \frac 13 x^3 + C= -\cos(t) +\frac 13 \cos^3(t) + C$ ,

zodat

$\int\sin^3(t)dt =-\cos(t) +\frac 13 \cos^3(t) + C$

Voorbeeld 3

Tenslotte een voorbeeld van een bepaalde integraal. Nu moet er aan gedacht worden ook de grenzen aan te passen.

$\int_0^2 {x e^{x^2 } } dx$ .

Substitutie: stel $x^2 = y \Leftrightarrow 2xdx = dy \Leftrightarrow xdx = 0.5dy$ .
Grenzen aanpassen: $x = 0 \Rightarrow y = 0\,\, \wedge \,\,x = 2 \Rightarrow y = 4$

$\frac{1}{2}\int_0^4 {e^y } dy = \frac{1}{2}\left[ {e^y } \right]_0^4 = \frac{1}{2}\left( {e^4 - e^0 } \right) = \frac{{e^4 - 1}}{2}$

In tegenstelling tot de voorgaande voorbeelden, is het bij een bepaalde integraal niet nodig achteraf terug te substitueren.

[bewerk] Goniometrische substituties

Bij goniometrische substituties voeren we een goniometrische functie in. Dit kan helpen bij het integreren van onder meer wortelvormen zoals $\sqrt {x^2 - a^2 }$ , $\sqrt {a^2 - x^2}$ en $\sqrt {x^2 + a^2 }$ . Hierbij maken we gebruik van (onder andere) volgende goniometrische identiteiten:

$1-\sin^2\alpha\equiv\cos^2\alpha$

$1+\tan^2\alpha\equiv\sec^2\alpha$

$\sec^2\alpha-1\equiv\tan^2\alpha$

Voorbeeld

Een klassieker is $\int {\sqrt {1 - x^2 } dx}$

Substitutie: stel x = sin(y) <=> dx = cos(y)dy. We vinden:

$\int {\sqrt {1 - \sin ^2 \left( y \right)} \cos \left( y \right)dy} = \int {\sqrt {\cos ^2 \left( y \right)} \cos \left( y \right)dy} = \int {\cos ^2 \left( y \right)dy}$

We gebruiken nu dat cos(2a) = 2cos²(a)-1 <=> cos² = (1+cos(2a))/2:

$\int {\frac{{1 + \cos \left( {2y} \right)}}{2}dy} = \frac{1}{2}\int {dy} + \frac{1}{4}\int {\cos \left( {2y} \right)d\left( {2y} \right)} = \frac{y}{2} + \frac{{\sin \left( {2y} \right)}}{4} + C$

Tenslotte terug substitueren, wetend dat sin(y) = x <=> y = arcsin(x):

$\frac{y}{2} + \frac{{2\sin \left( y \right)\cos \left( y \right)}}{4} + C = \frac{{\arcsin \left( x \right)}}{2} + \frac{{x\sqrt {1 - x^2 } }}{2} + C$

Categorie: Integraalrekening

Integratie door substitutie

Van Wikipedia

[bewerk] Substitutieregel

[bewerk] Klassieke substituties

[bewerk] Goniometrische substituties

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen