Goniometrie

Van Wikipedia

De goniometrie of trigonometrie (Grieks: γωνια, hoek en μετρειν, meten) is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met driehoeken en in het bijzonder de oorspronkelijk op driehoeken gebaseerde goniometrische functies zoals sinus (sin), cosinus (cos) en tangens (tan).

De goniometrie kent vele toepassingen, onder andere bij de driehoeksmeting.

Een goniometrische cirkel is een cirkel met straal 1 met als middelpunt de oorsprong van het assenstelsel. De cosinus van de hoek $\alpha\!$ is de waarde van $\alpha\!$ op de cirkel op de x-as en de sinus van $\alpha\!$ is de waarde op de y-as. Daarin worden de volgende relaties zichtbaar:

$\sin (-\alpha\ ) = - \sin \alpha\!$

$\cos (-\alpha\ ) = \cos \alpha\!$

De tangens van een hoek is gedefinieerd als de verhouding tussen overstaande en de aanliggende rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek en is dus:

$\tan \alpha\ = \frac{ \sin \alpha\ }{ \cos \alpha\ }$

$\tan (-\alpha\ ) = - \tan \alpha\!$

Uit de stelling van Pythagoras volgt:

$\sin^2 \alpha\ + \cos^2 \alpha\ = 1 \!$

In een rechthoekige driehoek kan men m.b.v. de volgende verhoudingen de zijden berekenen. Hierin zijn secans (sec), cosecans (csc) en cotangens (cot) de reciproke functies.

$\tan\alpha\ = \frac{\sin\alpha\ }{\cos\alpha\ }$

$\sec\alpha\ = \frac{1}{\cos\alpha\ }$

$\csc\alpha\ = \frac{1}{\sin\alpha\ }$

$\cot\alpha\ = \frac{\cos\alpha\ }{\sin\alpha\ } = \frac{1}{\tan\alpha\ }$

Met de basisrelaties kan steeds een van de functies in een andere worden uitgedrukt (zij het slechts voor scherpe hoeken)

$\sin \alpha\ = \sqrt{ 1 - \cos^2 \alpha\ }$

$\sin \alpha\ = \frac{ \tan \alpha\ }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 \alpha\ } }$

$\cos \alpha\ = \sqrt{ 1 - \sin^2 \alpha\ }$

$\cos \alpha\ = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 \alpha\ } }$

$\tan \alpha\ = \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 \alpha\ } }{ \cos \alpha\ }$

$\tan \alpha\ = \frac{ \sin \alpha\ }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 \alpha\ } }$

De som -en verschilformules:

$\sin (\alpha\ - \beta\ ) = \sin \alpha\; \cos \beta\ - \cos \alpha\; \sin \beta\$

$\sin (\alpha\ + \beta\ ) = \sin \alpha\; \cos \beta\ + \cos \alpha\; \sin \beta\$

$\cos (\alpha\ - \beta\ ) = \cos \alpha\; \cos \beta\ + \sin \alpha\; \sin \beta\$

$\cos (\alpha\ + \beta\ ) = \cos \alpha\; \cos \beta\ - \sin \alpha\; \sin \beta\$

$\tan (\alpha\ - \beta\ ) = \frac{ \tan \alpha\ - \tan \beta\ }{ 1 + \tan \alpha\; \tan \beta\ }$

$\tan (\alpha\ + \beta\ ) = \frac{ \tan \alpha\ + \tan \beta\ }{ 1 - \tan \alpha\; \tan \beta\ }$

Met x=y levert dat de volgende uitdrukkingen:

$\sin (2\; \alpha\ ) = 2 \sin \alpha\; \cos \alpha\$

$\cos (2\; \alpha\ ) = \cos^2 \alpha\ - \sin^2 \alpha\$

$\cos (2\; \alpha\ ) = 2 \cos^2 \alpha\ - 1$

$\cos (2\; \alpha\ ) = 1 - 2 \sin^2 \alpha\$

$\tan (2\; \alpha\ ) = \frac{ 2 \tan \alpha\ }{ 1 - \tan^2 \alpha\ }$

Formules van Simpson voor de som

$\cos \alpha\ + \cos \beta\ = 2\cos \frac{ \alpha\ + \beta\ }{2}\cos \frac{\alpha\ - \beta\ }{2}$

$\cos \alpha\ - \cos \beta\ = -2\sin \frac{ \alpha\ + \beta\ }{2}\sin \frac{\alpha\ - \beta\ }{2}$

$\sin \alpha\ + \sin \beta\ = 2\sin \frac{ \alpha\ + \beta\ }{2}\cos \frac{\alpha\ - \beta\ }{2}$

$\sin \alpha\ - \sin \beta\ = 2\cos \frac{ \alpha\ + \beta\ }{2}\sin \frac{\alpha\ - \beta\ }{2}$

Nodig bij integreren:

$\cos ^ 2 \alpha\ = \frac { 1 + \cos 2\alpha\ }{2}$

$\sin ^ 2 \alpha\ = \frac { 1 - \cos 2\alpha\ }{2}$

$\sin \alpha\cos \beta \ =\frac {1}{2} \sin (\alpha\ - \beta\ ) + \frac{1}{2} \sin (\alpha\ + \beta\ )$

$\sin \alpha\sin \beta \ =\frac {1}{2} \cos (\alpha\ - \beta\ ) - \frac{1}{2} \cos (\alpha\ + \beta\ )$

$\cos \alpha\cos \beta \ =\frac {1}{2} \cos (\alpha\ - \beta\ ) + \frac{1}{2} \cos (\alpha\ + \beta\ )$

$\sin^2(\alpha\ ) \cos^2(\alpha\ ) = {1 - \cos(4\alpha\ ) \over 8}$

Ezelsbruggetje:

SOS: sin = overstaande zijde ÷ schuine zijde
CAS: cos = aanliggende zijde ÷ schuine zijde
TOA: tan = aanliggende zijde ÷ overstaande zijde

[bewerk] Zie ook:

Zie ook

Categorie: Goniometrie

Goniometrie

Van Wikipedia

[bewerk] Zie ook:

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen