Lineaire afbeelding

Van Wikipedia

In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en ze spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten of modulen.

Inhoud

1 Definities
2 Combineren van lineaire afbeeldingen
3 Nulruimte en beeldruimte
4 Voorbeelden
5 Eigenschappen

[bewerk] Definities

Een afbeelding $f : V \to W$ , waarbij V en W vectorruimten over een lichaam (Ned. term; in België: veld) K zijn, noemen we lineair als voor elk paar x en y uit V, en elk element $λ$ uit K:

$f(x+y)=f(x)+f(y) \quad{}$

$f( \lambda x)= \lambda f(x) \quad{}$

Men zou dit informeel kunnen verwoorden als volgt: "Het beeld van de som is de som van de beelden." en "Het beeld van het product van een scalair met een vector is het product van de scalair met het beeld van die vector."

Zolang we niet uitdrukkelijk gebruikmaken van de omkeerbaarheid van scalairen, gaat bovenstaande definitie naadloos over naar algemenere lineaire afbeeldingen tussen modulen over een commutatieve ring. De theorie blijft een tijdlang analoog, behalve dat niet ieder moduul een basis heeft (nodig voor o.m. de dimensiestelling).

Bij een niet-commutatieve ring kan men eventueel spreken van een links-lineaire afbeelding tussen linkermodulen.

[bewerk] Combineren van lineaire afbeeldingen

Zoals gezegd, komen lineaire afbeeldingen typisch voor bij vectorruimten. Bovendien zal de verzameling van alle lineaire afbeeldingen van een vaste vectorruimte V naar een vaste vectorruimte W ook een vectorruimte zijn met een geschikte optelling, en vermenigvuldiging met een scalair:

Zij f en g twee lineaire afbeeldingen tussen de K-vectorruimten V en W. Dan definiëren we de som van f en g, "f + g" als de lineaire afbeelding die aan elk element uit V, de som van de beelden onder f en g teruggeeft:

$f+g : V \to W : x \mapsto f(x) + g(x)$

Analoog definiëren we voor een willekeurig element $λ$ uit K,

$\lambda f : V \to W : x \mapsto \lambda f(x)$

Beschouw anderzijds de lineaire afbeeldingen $f : V \to W$ en $g : W \to U$ . Dan is ook de samenstelling een lineaire afbeelding

$g o f : V \to U : x \mapsto g(f(x))$

Het is duidelijk dat deze nieuwverkregen afbeeldingen inderdaad lineair zijn.

[bewerk] Nulruimte en beeldruimte

De nulruimte N_f of kern van een lineaire afbeelding f is de verzameling van alle vectoren die door f op de nulvector worden afgebeeld. Het beeld van het domein van f heet de beeldruimte B_f van f. De formele definities zijn:

Van de lineaire afbeelding $f: V \to W$ noemen we de verzameling:

$N_{f} = \{ \vec{v} \in V | f \vec{v} = 0 \}$

de nulruimte $N f$

en het beeld van V de beeldruimte:

$B_{f} = \{ f\vec{v} \in W | \vec{v} \in V \}$ .

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Voorbeeld 1

De identieke afbeelding is lineair. De projectie op een vector is lineair. Lineaire afbeeldingen over eindigdimensionale vectorruimten kunnen door een matrix worden voorgesteld, en omgekeerd kan men met elke eindigdimensionale matrix een lineaire afbeelding associëren.

[bewerk] Voorbeeld 2

De afbeelding $D : C^1 \to C^0 : f \mapsto f'$ die een differentieerbare functie afbeeldt op haar afgeleide, is een lineaire afbeelding. Hierbij zijn $C 0, C 1$ respectievelijk de verzamelingen van functies en van alle functies die minstens één keer differentieerbaar zijn.

[bewerk] Voorbeeld 3

De afbeelding $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 : (x,y) \mapsto (x+y,2x+3y)$ , is lineair. Dit volgt onmiddellijk uit de definitie van som en vermenigvuldiging met een scalair.

[bewerk] Voorbeeld 4

De afbeelding $f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}:(x,y)\mapsto 3x+6y$ is een lineaire afbeelding tussen twee modulen over de ring $\mathbb{Z}$ . De kern van deze afbeelding is het $\mathbb{Z}$ -moduul dat bestaat uit alle gehele getallenkoppels van de vorm $(2 z, - z)$ . Het beeld is $3\mathbb{Z}$ , de verzameling van alle drievouden.

Algemener kan elke abelse groep worden opgevat als een $\mathbb{Z}$ -moduul, en elk groepsisomorfisme tussen abelse groepen wordt een lineaire afbeelding.

[bewerk] Eigenschappen

De dimensiestelling: Zij $f : V \to W$ een lineaire afbeelding tussen eindigdimensionale vectorruimten. Dan zal

$\dim(Ker(f)) + \dim(Im(f)) = \dim V\quad{}$ ,

waarbij Im(f) het beeld en Ker(f) de kern van f is.

nog aan te vullen

Categorie: Lineaire algebra