Imaginaire eenheid

Van Wikipedia

Binnen de wiskunde is het door de definitie van de imaginaire eenheid mogelijk gebleken ook aan wortels van vergelijkingen als $x^2=-1\!$ een betekenis te geven. De verzameling van de reële getallen wordt zo uitgebreid tot de verzameling van de complexe getallen.

De behoefte aan uitbreiding ontstaat onder meer vanuit het gegeven dat niet elke polynomiale vergelijking van de graad n binnen de verzameling van de reële getallen n oplossingen heeft. Binnen de complexe getallen is dit wel het geval (hoewel oplossingen wel met elkaar samen kunnen vallen), zie de Hoofdstelling van de Algebra.

De imaginaire eenheid, aangeduid met i, is per definitie een oplossing van de vergelijking

x 2 = - 1

Er wordt in feite 'gedefinieerd' dat deze vergelijking een oplossing heeft.

Als we eenmaal weten dat i een oplossing is, dan is eenvoudig in te zien dat ook -i een oplossing is, immers:
(-i)² = (-i) (-i) = -1 × i × -1 × i = -1 × -1 × i × i = (-1 × -1) × (i × i) = 1 × -1 = -1.

De vergelijking x² = -1 is van de graad 2, en heeft dus inderdaad 2 oplossingen: i en -i.

Soms zegt men dat deze vergelijken nog meer oplossingen heeft die verschillen van i en -i, met name j, -j, k en -k. Als men deze 4 andere 'imaginaire' eenheden definieert, dan bevindt men zich op het terrein van de quaternionen.

[bewerk] Opmerking

De imaginaire eenheid wordt soms genoteerd als $\sqrt{-1}$ . De rekenregels die gelden voor de vierkantswortel zijn alleen gedefinieerd voor positieve getallen (en nul). Als (ten onrechte) een dergelijke rekenregel zou worden toegepast voor a = -1, dan kan het volgende 'bewijs' worden geconstrueerd:

$-1 = i * i = \sqrt{-1} * \sqrt{-1} = \sqrt{-1 * -1} = \sqrt{1} = 1$

De incorrectheid in dit 'bewijs' zit hem in de stap $\sqrt{-1} * \sqrt{-1} = \sqrt{-1 * -1}$ ; de rekenregel $\sqrt{a} * \sqrt{b} = \sqrt{a * b}$ geldt namelijk niet voor negatieve a en b. Er geldt dat $\sqrt{-1} * \sqrt{-1}=-1$ en $\sqrt{-1 * -1}=1$ ; deze zijn dus niet gelijk.

Zie ook bij complex getal voor de tegenspraken die zouden ontstaan als tegen deze regel gezondigd wordt. Zie verder ook wortel voor definities van wortels voor complexe getallen en quaternionen.