Trilling

Van Wikipedia

Een mechanische trilling (ook oscillatie genoemd) is een periodiek herhaalde omkering van de bewegingsrichting. Een trilling wordt vaak veroorzaakt door de verstoring van een stabiele evenwichtsituatie.

Een voorbeeld van een trillend systeem is een massa op een veer die in beweging is gebracht, of een slinger in een klok. Ook de naald van een platenspeler vertoont een trilling als hij de groef in een grammofoonplaat volgt, al is deze trilling minder regelmatig dan de andere voorbeelden. Zoals uit dit laatste voorbeeld al blijkt, hebben trillingen een sterke relatie met geluid. Geluid kan ook gezien worden als een trilling in de lucht. Maar ook licht kan beschouwd worden als een trilling, van elektromagnetische aard, weliswaar, maar toch een trilling.

[bewerk] Harmonische ongedempte trilling

De eenvoudigste trilling is de harmonische trilling zonder demping. Deze trilling treedt op bij een systeem dat voldoet aan de Wet van Hooke. Deze wet geldt voor vrijwel alle fysische systemen, mits de verplaatsing niet te groot is. De verplaatsing die hoort bij deze trilling, gezien in de tijd, heeft de vorm van een sinus. De verplaatsing van deze trilling x wordt als functie van de tijd t gegeven door:

Hierin is:

A de amplitude van de trilling in meter

ω de frequentie van de trilling in radialen per seconde. ω = 2πf, waarin f de frequentie is in hertz.

t de tijd in seconde

Bij deze formule is de tijdsschaal zo gekozen dat de verplaatsing op t=0 ook gelijk is aan 0, met andere woorden de fase op t=0 bedraagt 0.

Het trillende voorwerp heeft naast een verplaatsing ook een snelheid en een versnelling die in de tijd variëren. Omdat de snelheid v in m/s de afgeleide is van de plaats naar de tijd, geldt voor de snelheid:

Zo is de versnelling a in m/s² als afgeleide van de snelheid:

Hieruit blijkt dat de vorm van de snelheid en de versnelling sterk lijken op die van de verplaatsing, en ook dezelfde frequentie bezitten. Echter blijkt hieruit ook dat de verplaatsing en de versnelling met elkaar in tegenfase zijn (dat wil zeggen dat de versnelling en de verplaatsing tegelijkertijd op hun maximum zijn, maar met tegengesteld teken), maar dat de snelheid en de verplaatsing 90 graden uit fase zijn. De snelheid bereikt zijn maximum als de verplaatsing nul is.

Dit is te aanschouwelijk te maken aan de trillingsbeweging van een slinger, zoals een schommel. De snelheid van de schommel is maximaal als de schommel door de middenpositie gaat (de uitwijking is daar nul). De snelheid is echter gelijk aan nul als de schommel in een uiteinde staat (de uitwijking is daar maximaal). Op dat punt keert de snelheid ook van teken om (de grafiek van de snelheid gaat door nul). In onderstaande figuur zijn de verplaatsing (zwarte lijn), snelheid (paarse lijn) en de versnelling (groene lijn) getekend als functie van de tijd op de x-as. De amplitude van deze trilling is op 1 gesteld, evenals de frequentie ω.

Als ω in deze grafiek niet gelijk zou zijn aan 1, dan zouden de toppen van de drie grafieken verschillend van hoogte zijn. Bij een grotere waarde van de frequentie gaat de trilling bovendien sneller.

[bewerk] Beschrijving in het complexe vlak

Een harmonische op en neer gaande beweging kan worden gezien als de projectie van een eenparige cirkelbeweging in het complexe vlak. Dit is één van de toepassingen van de complexe getallen.

[bewerk] Gedempte trilling

De hierboven beschreven ongedempte trilling is in de praktijk onbestaanbaar. In het model van de ongedempte trilling blijft deze altijd in beweging, als de massa eenmaal uit evenwicht is gebracht. Een meer realistisch model is de gedempte trilling. Als de massa uit evenwicht is gebracht, verdwijnt er bij elke trillingscyclus een gedeelte van de energie. Deze wordt bijvoorbeeld via wrijving in warmte omgezet. Bij goede benadering is de vermindering van energie evenredig met de uitwijking, zodat de energie met de tijd vermindert als een exponentiële functie, . Het getal γ heet de dempingscoëfficiënt.

De gedempte trilling heeft dan de vorm:

De snelheid v wordt nu gegeven door:

.

De formule voor de snelheid bestaat uit twee termen, een met cos(ωt) en een met sin(ωt). De snelheid krijgt hierdoor een ander faseverschil met de verplaatsing dan bij de ongedempte trilling. Hetzelfde geldt voor de versnelling.

De verplaatsing van een gedempte trilling met vrij weinig demping ziet er als functie van de tijd als volgt uit:

zwak gedempte trilling

Is de demping groter, dan dempt de trilling sneller uit:

sterk gedempte trilling

Als de dempingsterm nog groter is dan in deze voorbeelden, en een bepaalde waarde bereikt, de "kritisch demping" dan gaat de verplaatsing van de massa snel naar nul, zonder door de nul heen te schieten. Is de dempingswaarde nog groter, dan is de trilling overgedempt.

kritisch gedempte trilling

Voor (analoge) meetinstrumenten met een wijzer wordt het trillen van de naald zodanig gedempt dat er nog net één keer overshoot optreedt waarna de wijzer tot rust komt. Dit gebeurt bij een demping van 0.7 keer de kritische demping.