Verdelingsfunctie

Van Wikipedia

De verdelingsfunctie, ook aangeduid als cumulatieve kansverdelingsfunctie of cumulatieve distributiefunctie (cdf), van een stochastische variabele is in de kansrekening de functie waarmee de verdeling van de stochastische variabele beschreven of vastgelegd wordt. De verdelingsfunctie bestaat altijd en voor elke gebeurtenis die de stochastische variabele betreft kan daarmee de kans op die gebeurtenis bepaald worden. Populair gezegd worden alle kansen betreffende de stochastische variabele bepaald door de verdelingsfunctie.

[bewerk] Definitie

De verdelingsfunctie van de stochastische variabele X is de functie $F X$ , gedefinieerd voor $x \in \mathbb{R}$ door:

$F_{X}(x) = P(X \leq x)$

(Let op het verschil tussen X en x.)

[bewerk] Eigenschappen

Een verdelingsfunctie is een monotoon stijgende functie met domein $\mathbb{R}$ en bereik [0,1].

De verdelingsfunctie $F X$ en de verdeling $P X$ van een stochastische variabele X zijn een-eenduidig met elkaar verbonden door de relatie:

$F_{X}(x) = P(X \leq x) = P_X((- \infty ,x])$

Als de verdelingsfunctie absoluut continu is, dan is ze de integraal van een kansdichtheid. Als de verdeling singulier is, dan is de verdelingsfunctie soms de integraal van een discrete kansfunctie. In het algemeen garandeert de Stelling van Radon-Nikodym-Lebesgue (zie wederzijds singuliere maten) dat de verdeling de som is van een absoluut continu en een singulier gedeelte.

Van de bekende kansverdelingen bestaan tabellen, waarin meestal de verdelingsfunctie getabelleerd is. Uit zo'n tabel kan men dus eenvoudig van die verdeling de linker overschrijdingskans aflezen.