Logaritme
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
I matematikken er logaritmefunksjonen (fra gresk: logos = forhold, arithmos = tall) den inverse funksjonen til eksponensialfunksjonen. Logaritmen er resultatet av denne funksjonen.
Innhold |
[rediger] Definisjon
- For a > 0, a ≠ 1 gjelder: dersom y = ax da er x = loga(y)
I klartekst: x er er logaritmen til y med grunntall a.
Logaritmen med grunntall e blir kalt den naturlige logaritmen, der konstanten e = 2,718281828... (et irrasjonalt tall).
Logaritmefunksjoner som er mye brukt har forkortede skrivemåter:
- lb(y) eller ld(y) betyr log2(y)
- lg(y) betyr log10(y)
- ln(y) betyr loge(y)
[rediger] Egenskaper for logaritmer
For alle typer logaritmer, kan vi bevise følgende; (Her brukes "ln", men i praksis kan både "lg" og andre logaritme-typer anvendes)
ln (a*b) = ln(a) + ln(b)
Bevis:
a*b = e^ln(a)* e^ln(b) = e^ln(a) + ln(b)
Vi tar den naturlige logaritmen på begge sider:
ln(a*b) = ln(e^ln(a)* e^ln(b)) = ln(a) + ln(b)
Merk! ln(e^ln(a)* e^ln(b)) = ln(a*b)
Tilsvarende gjelder ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
[rediger] Likninger med grunntall i logaritmer
Eks 1: ln(x) = 4
e^ln(x)= e^4
x = e^4
Eks 2: ln(x+2) - ln(3x-1) = 0
ln ((x+2)/(3x-1)) = 0
e^ln ((x+2)/(3x-1)) = e^0
(x+2)/(3x-1)= 1
3x-1 = x+2
2x = 3
x = 3/2
For likningen i eks 1, gjelder ingen verdier for x som medfører at x<0 For likningen i eks 2, gjelder ingen verdier for x som kan gjøre x+2<0, eller 3x-1<0 (x kan likevel være <0)
[rediger] Beslektede funksjoner
- Potens
- Rot (invers funksjon til potens)
