Логарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Логарифм числа a по основанию b равен показателю степени, в которую надо возвести число b, чтобы получить число a (если $\log_b~a = x$ , то $~b^x=a$ ). Широкое применение нашли логарифмы по основаниям e (число Эйлера) — натуральные логарифмы (ln a) и по основанию 10 — десятичные логарифмы (lg a), а также двоичные логарифмы ( $\log_2~a$ , $lb~a$ ), которые применяются в теории информации и информатике.

[править] Свойства логарифмов

$\forall a,b,c>0$ и $a \ne 1$

$\log_a \left (bc \right) = \log_a b + \log_a c$
$\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$
$log a b p = p log a b$
$\log_a \sqrt[r] {b} = \frac{1}{r} \log_a b$
$\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}$
Основное логарифмическое тождество:

$a^{log_a b} = b$

[править] Натуральный логарифм

При $-1 < x \le 1$ справедливо равенство

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +$ …

(1)

В частности,

$\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +$ …

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится, и значение $x$ ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+...\right)$

(2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа $z$ .

Для производной натурального логарифма справедлива формула

$(\ln(t))' = \frac{1}{t}$

[править] Десятичные логарифмы

Логарифмы по основанию 10 (обозначение lg a) ранее широко применялись для вычислений. Это связано с тем, что если

а = b · 10ⁿ

то

lg a = lg b + n

Поэтому, если составить таблицы логарифмов для чисел от 1 до 10, то с их помощью можно найти логарифм любого числа, предварительно приведя его к стандартному виду (что легко делается вручную).

И наоборот, с помощью тех же таблиц можно возвести 10 в любую степень (т. е. найти число по его десятичному логарифму), используя тождество

10^x = 10^{{x} ^{· 10^[x]}}

где {x} — дробная часть x, а [x] — целая часть x.

Шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.

Категория: Элементарные функции