Antyłańcuch

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.

Spis treści

1 Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych
- 1.1 Definicja
- 1.2 Przykłady i własności
2 Antyłańcuchy w teorii forsingu
3 Antyłańcuchy w algebrach Boole'a
- 3.1 Definicja
- 3.2 Celularność
4 Zobacz też

[edytuj] Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych

[edytuj] Definicja

Przy określonym porządku $(P, \sqsubseteq)$ zbiór $A\subseteq P$ nazywamy antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy

$\big(\forall x,y \in A\big)\big(x\neq y\ \Rightarrow\ \neg (x \sqsubseteq y \vee y \sqsubseteq x)\big)$ .

Intuicyjnie, zbiór jest antyłańcuchem, gdy nie da się porównać żadnych dwóch różnych jego elementów.

[edytuj] Przykłady i własności

Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest antyłańcuchem (i jednocześnie jest też łańcuchem).
Porządek częściowy $(P, \sqsubseteq)$ jest porządkiem liniowym wtedy i tylko wtedy gdy każdy antyłańcuch w tym porządku jest jednoelementowy.
Twierdzenie Dilwortha mówi że częściowy porządek $(P, \sqsubseteq)$ nie zawiera $n + 1$ elementowych antyłańcuchów ( $n\in {\mathbb N}$ ) wtedy i tylko wtedy gdy $P$ jest sumą $n$ łańcuchów.
Twierdzenie Spernera mówi że jeśli $P$ jest rodziną wszystkich podzbiorów pewnego $n$ elementowego zbioru $X$ , a porządek $\sqsubseteq$ jest zawieraniem, to każdy antyłańcuch zawarty w $P$ ma co najwyżej ${n \choose \lfloor{n/2}\rfloor}$ elementów.

[edytuj] Antyłańcuchy w teorii forsingu

[edytuj] Definicja

Niech $({\mathbb P},\leq)$ będzie pojęciem forsingu. Zbiór $A\subseteq{\mathbb P}$ jest antyłańcuchem w ${\mathbb P}$ wtedy i tylko wtedy gdy każde dwa różne warunki $p,q\in A$ są sprzeczne, tzn

$\big(\forall p,q\in A\big)\big(p\neq q\ \Rightarrow\ \neg(\exists r\in{\mathbb P})(r\leq p\ \wedge r\leq q)\big).$

Należy zwrócić uwagę że pojęcie antyłańcucha w sensie forsingu jest różne od tegoż w sensie teorii posetów: nieporównywalność elementów jest tutaj zastąpiona sprzecznością warunków.

[edytuj] $κ$ -cc

Niech $κ$ będzie liczbą kardynalną. Powiemy że pojęcie forsingu $({\mathbb P},\leq)$ spełnia $κ$ -cc jeśli każdy antyłańcuch w ${\mathbb P}$ jest mocy mniejszej niż $κ$ . Jeśli ${\mathbb P}$ spełnia $\aleph_1$ -cc to mówimy wtedy też że ${\mathbb P}$ spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo ${\mathbb P}$ spełnia ccc.

Nazwa $κ$ -cc jest skrótem angielskiego wyrażenia $κ$ -chain condition (warunek $κ$ -łańcucha). Użycie słowa łańcuch (chain) było pierwotnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii.

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że najmniejsza liczba kardynalna $κ$ dla której pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ spełnia warunek $κ$ -cc musi być regularna.

[edytuj] Przykłady i własności

Pojęcie forsingu Cohena (zbiór skończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowany przez odwrotną relację wydłużania ciągów) spełnia ccc.
Pojęcie forsingu Solovaya (zbiór domkniętych podzbiorów ${\mathbb R}$ miary dodatniej uporządkowany przez inkluzję) spełnia ccc.
Pojęcie forsingu Sacksa (zbiór doskonałych podzbiorów ${\mathbb R}$ uporządkowany przez inkluzję) nie spełnia ccc. Poniżej każdego warunku w tym forsingu można skonstruować antyłańcuch mocy continuum.
Rozszerzenia generyczne modeli ZFC przy użyciu pojęć forsingu spełniających ccc zachowują liczby kardynalne. Rozszerzenia przy użyciu pojęć forsingu spełniających $κ$ -cc zachowują liczby kardynalne większe lub równe $κ$ .

[edytuj] Antyłańcuchy w algebrach Boole'a

[edytuj] Definicja

Ponieważ algebry Boole'a są też pojęciami forsingu, forsingowa definicja antyłańcuchów jest naturalnie przenoszona na algebry Boole'a. Niech $({\mathbb B},\vee,\wedge,\neg,0,1)$ będzie algebrą Boole'a. Zbiór $A\subseteq {\mathbb B}\setminus \{0\}$ jest antyłańcuchem w ${\mathbb B}$ wtedy i tylko wtedy gdy każde dwa różne elementy $A$ są rozłączne, tzn

$\big(\forall a,b\in A\big)\big(a\neq b\ \Rightarrow\ a\wedge b=0\big).$

[edytuj] Celularność

Celularność jest funkcją kardynalną określona na algebrach Boole'a. Celularność $c({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w ${\mathbb B}$ .

Mówimy że algebra Boole'a ${\mathbb B}$ spełnia ccc jeśli $c({\mathbb B})\leq\aleph_0$ .

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że jeśli celularność $c({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ jest liczbą singularną, to istnieje antyłańcuch $A\subseteq {\mathbb B}\setminus \{0\}$ mocy $c({\mathbb B})$ .

[edytuj] Zobacz też

łańcuch

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../a/n/t/Anty%C5%82a%C5%84cuch.html"

Kategoria: Teoria mnogości

Antyłańcuch

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady i własności

[edytuj] Antyłańcuchy w teorii forsingu

[edytuj] Definicja

[edytuj] $κ$ -cc

[edytuj] Przykłady i własności

[edytuj] Antyłańcuchy w algebrach Boole'a

[edytuj] Definicja

[edytuj] Celularność

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

Antyłańcuch

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady i własności

[edytuj] Antyłańcuchy w teorii forsingu

[edytuj] Definicja

[edytuj] κ-cc

[edytuj] Przykłady i własności

[edytuj] Antyłańcuchy w algebrach Boole'a

[edytuj] Definicja

[edytuj] Celularność

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

[edytuj] $κ$ -cc