Miara Lebesgue'a

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Miara Lebesgue'a – miara będącą uogólnieniem pojęcia objętości, pola powierzchni, czy długości podzbiorów przestrzeni euklidesowej (w zależności od jej wymiaru).

Miara Lebesgue'a jest jednym z podstawowych pojęć współczesnej analizy rzeczywistej, a także podstawą definicji całki Lebesgue'a, narzędzia współczesnej matematyki. Jej autor, matematyk francuski Henri Lebesgue, wprowadził pojęcie miary właśnie ze względu na potrzeby tej definicji.

[edytuj] Intuicja

Rozważmy zbiór liczb rzeczywistych. Chcąc w "naturalny" sposób uogólnić pojęcie długości musimy cały czas mieć na uwadze to, że nasze uogólnienie nie powinno kłócić się z intuicją podpowiadającą nam, iż długość przedziału $[a, b]$ jest równa różnicy ich odległości od zera, czyli po prostu $b - a$ . Warto dodać, że długość nie powinna przyjmować wartości ujemnych. Dodatkowo "długość" sumy przedziałów rozłącznych powinna być równa sumie ich długości.

Przeprowadziliśmy więc zarazem dwie konstrukcje: określiliśmy miarę (określiliśmy czym jest długość na prostej), ale co ważniejsze, wskazaliśmy rodzinę zbiorów dla których będzie ona określona – są to tzw. zbiory mierzalne. Wydaje się być to niepotrzebne, jednak okazuje się, że nie dla wszystkich zbiorów miarę da się określić! (tzw. zbiory niemierzalne w danej mierze).

Początkowo w definicji miary wymagano, aby miara zbioru będącego sumą skończenie wielu zbiorów rozłącznych była sumą ich miar, zgodnie z przedstawioną wyżej intuicją. Miarę taką dość łatwo skonstruować i to zarówno dla podzbiorów prostej, jak i podzbiorów płaszczyzny – nosi ona nazwę miary Jordana i właśnie nią posługujemy się w "szkolnej" geometrii. Pozwoliła ona również określić całkę Riemanna.

Niestety, miara Jordana jest niewystarczająca dla wielu ważnych zastosowań. Trudności z badaniem szeregów Fouriera wymusiły przyjęcie innej definicji miary. Okazało się, że istotny jest warunek, by miara zbioru będącego sumą przeliczalnie wielu zbiorów rozłącznych była równa sumie miar tych zbiorów. Ten decydujący krok uczynił matematyk francuski Henri Lebesgue, który pierwszy dodał powyższy warunek do definicji powyższej miary. Od jego nazwiska została ona więc ona nazwana miarą Lebesgue'a.

Mimo wszystko okazuje się, że tak jak dla miary Jordana, tak również dla miary Lebesgue'a znajdują się "patologiczne" zbiory, których miary określić się nie da. Moglibyśmy się umówić, że zbiory te będą miały miarę zerową albo nieskończoną, ale będzie to rodzić kolejne problemy: które z tych zbiorów są niemierzalne? jaką miarę powinniśmy przypisać zbiorowi niemierzalnemu, czy jest on na tyle duży, iż będzie miał miarę nieskończoną, czy na tyle mały, że powinien mieć miarę zerową? Z wymienionych powodów jasne jest, iż miara Lebesgue'a nie może być określona na całej prostej, lecz tylko na jej części, jednakże sposób jej określenia wskaże nam zbiory tak mierzalne jak i nie mierzalne za pomocą tej miary oraz da odpowiedź na problem "rozmiaru" zbiorów.

Należy również pamiętać, że termin "miara Jordana" nie oznacza miary w poniższym sensie, lecz jest terminem ukutym na podobieństwo wyrażenia "miara Lebesgue'a". Oba terminy są zaś z kolei funkcjami służącymi do pomiaru długości, pola, czy objętości (w zależności od wymiaru przestrzeni) i są w gruncie rzeczy określonymi w konkretny sposób miarami.

[edytuj] Konstrukcja miary Lebesgue'a

[edytuj] Zadanie

Jak już wspomnieliśmy określenie miary Lebesgue'a na całej prostej jest niemożliwe, z tych samych względów nie jest to łatwe w przypadku wielowymiarowym (przykłady zbiorów liczb wymiernych, czy zbioru Cantora na prostej). Z pomocą przychodzi jednak pomysł Constantina Carathéodory'ego dotyczący miary zewnętrznej.

Rozważamy wszystkie zbiory, w których nasz zbiór się zawiera, ale których długości obliczyć umiemy. Z tej rodziny wybieramy zbiory o coraz mniejszych długościach (lub o takiej samej długości, jeśli zbiór o mniejszej długości nie istnieje). Długości zbiorów z tego ciągu tworzą nieskończony ciąg zstępujący i ograniczony z dołu (przez zero – długość nie może być ujemna). Istnieje więc granica tego ciągu – ona to będzie miarą zewnętrzną szukanego zbioru, czyli poszukiwaną objętością.

Musimy jednak pamiętać, że nie spełnia ona jednak definicji miary! Otóż na ogół suma miar zewnętrznych przeliczalnie wielu zbiorów rozłącznych nie musi być równa mierze zewnętrznej sumy tych zbiorów. Ograniczając się jednak do pewnej rodziny zbiorów, tworzącej σ-ciało, na którym określona przez miara zewnętrzna będzie się zachowywać się porządnie, czyli spełniać warunek addytywności. Okazuje się wtedy, iż miara zewnętrzna na tym zbiorze staje się miarą.

Procedurę tę można przeprowadzić na kilka sposobów. Można na przykład udowodnić, że odpowiednim będzie σ-ciało zbiorów borelowskich. Aby zwiększyć ilość mierzalnych zbiorów możemy ją uzupełnić o wszystkie zbiory zawierające się w zbiorach borelowskich, których miara wynosi zero (tzw. uzupełnienie miary).

Tak rozszerzona rodzina zbiorów tworzy już σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Podobną konstrukcję można przeprowadzić w dowolnej przestrzeni euklidesowej.

[edytuj] Miara zewnętrzna Lebesgue'a

Niech rodzina $\{ P^{(j)}: j \in J\}$ stanowi pokrycie zbioru $A$ przedziałami $k$ -wymiarowymi, czyli $A \subseteq \bigcup_{j \in J}~P^{(j)}$ .

$k$ -wymiarową miarą zewnętrzną Lebesgue'a zbioru $A \subseteq \mathbb R^k$ nazywamy kres dolny zbioru wszystkich liczb postaci $\sum_{n \in N}~|P^{(n)}|$ i oznaczać będziemy przez $\lambda_k^\star$ , mamy więc

$\lambda^\star(A)= \inf \sum_{n \in \mathbb N}~|P^{(n)}|$

dla powyższych oznaczeń (pomijamy indeks wymiaru). Dowodzi się również, iż $\lambda_k^\star: \mathbb R^k \to [0, \infty]$ jest miarą zewnętrzną (przeliczalna podaddytywność) oraz że miara zewnętrzna dowolnego przedziału $k$ -wymiarowego jest równa jego objętości.

[edytuj] Zbiory miary zero

Zobacz więcej w osobnym artykule: zbiór miary zero.

Podzbiory $\mathbb R^k$ , których miara zewnętrzna Lebesgue'a równa jest zeru, nazywać będziemy zbiorami miary zero. Zbiór $A \in \mathbb R^k$ jest miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\varepsilon > 0$ zbiór $A$ daje się pokryć przeliczalną rodziną przedziałów $k$ -wymiarowych, których suma objętości jest mniejsza od $\varepsilon$ .

Poniżej znajduje się kilka ważnych przykładów zbiorów miary zero:

zbiór pusty (z definicji),
przeliczalne podzbiory $\mathbb R^k$ (przedziały jednopunktowe są miary zero),
przedział zdegenerowany w $\mathbb R^k$ (z definicji objętości przedziału).
produkt dwóch zbiorów $\mathbb R$ , z których jeden jest miary zero,
zbiór Cantora (patrz niżej).

[edytuj] Miara Lebesgue'a

[edytuj] Zbiory mierzalne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Zbiór mierzalny.

Jak już stwierdziliśmy, miara zewnętrzna Lebesgue'a $\lambda^\star$ nie jest miarą, gdyż nie jest nawet skończenie addytywną funkcją zbioru. Zawęźmy więc $\lambda^\star$ zgodnie z naszymi oczekiwaniami do pewnego σ-ciała w $\mathbb R^k$ obejmującego w szczególności przedziały wielowymiarowe.

Przez $\mathfrak L_k$ oznaczmy najmniejsze σ-ciało w $\mathbb R^k$ zawierające rodzinę wszystkich przedziałów $k$ -wymiarowych i rodzinę wszystkich podzbiorów miary zero tej przestrzeni. To σ-ciało nazywać będziemy klasą podzbiorów $\mathbb R^k$ mierzalnych w sensie Lebesgue'a, zaś zbiory do niego należące otrzymają nazwę zbiorów mierzalnych (w sensie Lebesgue'a).

Nie trudno zauważyć, że powyższa rodzina $\mathfrak L_k$ zawiera również w sobie rodzinę $\mathfrak B_k$ podzbiorów borelowskich przestrzeni $\mathbb R^k$ , zatem każdy podzbiór borelowski tej przestrzeni jest mierzalny (a więc podzbiory otwarte i domknięte $\mathbb R^k$ , zaś w szczególności zbiór Cantora). Wynika to z faktu, iż σ-ciało $\mathfrak L_k$ zawiera rodzinę wszystkich zbiorów otwartych względem rozpatrywanej przestrzeni, a każdy zbiór otwarty w $\mathbb R^k$ jest sumą przeliczalnej rodziny przedziałów $k$ -wymiarowych (np. wszystkich przedziałów o końcach wymiernych).

[edytuj] Uwaga

Klasa zbiorów borelowskich $\mathfrak B_k$ jest węższa od klasy zbiorów mierzalnych $\mathfrak L_k$ i istotnie się w niej zawiera. Jest tak, ponieważ przestrzeń $\mathbb R_k$ zawiera zbiory miary zero mocy continuum, zaś rodzina wszystkich podzbiorów takiego zbioru jest mocy wyższej niż continuum. Jak wiemy $\mathfrak B_k$ jest mocy continuum, zatem przestrzeń ta zawiera nieborelowskie podzbiory miary zero.

Z drugiej strony istnieją również niemierzalne podzbiory $\mathbb R^k$ , przykładami takich zbiorów już na prostej rzeczywistej są konstruowalne za pomocą aksjomatu wyboru zbiory takie jak zbiór Vitalego, czy Bernsteina, których miara Lebesgue'a jest nieokreślona. Co więcej, można udowodnić, że jedyną miarą, w której mierzalne są wszystkie podzbiory prostej, jest miara zerowa, czyli miara przypisująca każdemu zbiorowi wartość zerową.

[edytuj] Twierdzenie

Wszystkie podzbiory miary zero i borelowskie przestrzeni $\mathbb R^k$ są mierzalne.
Miara zewnętrzna Lebesgue'a $\lambda_k^\star$ zawężona do $\mathfrak L_k$ jest miarą i oznacza się ją przez $λ k$ (jeżeli nie wprowadza to nieścisłości, to czasami również przez $|\cdot|$ ).
Miara ta jest zupełna i półskończona.

Mierzalność zbiorów borelowskich udowodniliśmy wcześniej, zaś mierzalność zbiorów miary zero wynika wprost z definicji rodziny $\mathfrak L_k$ .

Jeżeli przez $\mathfrak M_C$ oznaczymy rodzinę wszystkich zbiorów $A \subset \mathbb R^k$ spełniających warunek Caratheodory'ego względem miary zewnętrznej $\lambda_k^\star$

$|W \cup Z| = |W| + |Z|$

dla dowolnych zbiorów $W, Z$ takich, że $W \subset A,\; Z \subset A^c$ .

Wtedy na mocy twierdzenia Caratheodory'ego $\mathfrak M_C$ jest σ-ciałem w $\mathbb R^k$ i zachodzi teza drugiego punktu twierdzenia. Wystarczy więc udowodnić wtedy, że $\mathfrak L_k \subseteq \mathfrak M_C$ (a nawet $\mathfrak L_k = \mathfrak M_C$ ). Wykazanie, że dowolny przedział $k$ -wymiarowy $P$ należy do $\mathfrak M_C$ , czyli $|W| + |Z| \le |W \cup Z|$ dla $W \subset P, Z \subset P^c$ , a więc

$|W| + |Z| \le \sum_{n \in N}~|P^{(n)}|$

dla każdej rodziny $\{P^{(n)}: n \in \mathbb N\}$ przedziałów $k$ -wymiarowych pokrywającej zbiór $W \cup Z$ zakończy dowód drugiego punktu twierdzenia. Należy urozłącznić przedziały $k$ -wymiarowe i wyjść z nierówności $W \cup Z = \bigcup_{n \in \mathbb N}~P^{(n)}$ .

Zupełność miary $λ k$ wynika stąd, że każdy podzbiór $\mathbb R^k$ miary zero należy do $\mathfrak L_k$ , zaś półskończoność np. ze wzoru $\mathbb R^k = \bigcup_{n \in \mathbb N}~P^{(n)}$ , gdzie $P (n)$ jest $k$ -krotnym produktem przedziału jednowymiarowego $( - n, n)$ przez siebie.

[edytuj] Zbiory niemierzalne

Wiemy, że istnieją podzbiory $\mathbb{R}$ które nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a. Istnienie takich zbiorów (zbiór Vitaliego, zbiór Bernsteina w $\mathbb{R}$ ) wykazuje się zakładając pewnik wyboru. Udowodniono jednak szereg twierdzeń mówiących o ich istnieniu zbiorów (w nawiasie nazwiska odkrywców i data publikacji).

[edytuj] Twierdzenie (Sierpiński, 1920)

Istnieją zbiory $X,Y\subset \mathbb{R}$ miary Lebesgue'a zero, takie że zbiór

$X+Y=\{x+y\colon x\in X, y\in Y\}$

jest niemierzalny.

[edytuj] Twierdzenie (Cichoń-Morayne-Rałowski-Ryll-Nardzewski, 2001)

Istnieje podzbiór $T$ zbioru Cantora $C\subset [0,1]$ , że zbiór $T + C$ jest niemierzalny.

[edytuj] Twierdzenie (Ciesielski-Fejzić-Freiling, 2001)

Jeżeli $A\subseteq \mathbb{R}$ ma tę własność, że $A + A$ nie jest miary zero, to istnieje zbiór $X\subseteq A$ , że $X + X$ jest niemierzalny.

[edytuj] Miara Lebesgue'a a miara Jordana

Z określenia miary Lebesgue'a wynika natychmiast, że zbiory mierzalne w sensie Jordana są również mierzalne w sensie Lebesgue'a, jednak implikacja w drugą stronę nie zachodzi. Przykładem może być zbiór liczb wymiernych z przedziału $[0,1]$ , który nie jest mierzalny w sensie Jordana, lecz jest mierzalny w sensie Lebesgue'a (jego miara jest równa zeru).

[edytuj] Bibliografia

A. Birkholc, Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa (1986).
M. Kysiak, Nonmeasurable algebraic sums of sets of reals, Colloquium Mathematicum, 102 (2005) [1]

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../m/i/a/Miara_Lebesgue%27a_cac5.html"

Kategoria: Teoria miary