Funkcja Dirichleta
Z Wikipedii
Funkcja Dirichleta – jest to funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych.
Inaczej mówiąc, funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość 1, gdy argument jest liczbą wymierną i wartość 0, gdy argument jest liczbą niewymierną.
Oznaczając przez 
zbiór liczb wymiernych, funkcję Dirichleta można zapisać jako:
Funkcja ta ma szczególne własności:
- jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny),
- jest okresowa, ma przy tym nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego,
- nie jest całkowalna w sensie Riemanna – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje,
- jest jednak całkowalna w sensie Lebesgue'a – przy czym jej całka Lebesgue'a na dowolnym przedziale równa jest zeru, ponieważ zerowa jest miara Lebesgue'a zbioru liczb wymiernych.
