Dirichletova funkcia
Z Wikipédie
Dirichletova funkcia je funkcia, ktorá je definovaná na obore všetkých reálnych čísel a pritom nie je spojitá v žiadnom bode.
[úprava] Definícia
Dirichletova funkcia D(x) je definovaná následujúcim predpisom:
Skutočný graf tejto funkcie nemožno žiadnym spôsobom nakresliť ani si ho predstaviť, čo viedlo mnohých matematikov hlavne v 19. storočí k pochybnostiam, či je Dirichletova funkcia skutočne funkciou či akousi "príšerou", ktorá nepatrí do matematiky. Dnes už matematika celkom bez námietok uznáva aj omnoho zvláštnejšie funkcie.
[úprava] Vlastnosti
Dirichletova funkcia:
- nie je spojitá v žiadnom bode
- nemá dokonca v žiadnom bode limitu a to ani jednostrannú.
- nie je monotónna na žiadnom intervale.
- nadobúda maximum v každom racionálnom bode a minimum v každom iracionálnom bode
- Lebesgueov integrál cez celý definičný obor je rovný 0, jej Newtonov integrál ani Riemannov integrál neexistujú
[úprava] Lebesgueov integrál Dirichletovej funkcie
Môžeme ho uviesť napr. na intervale 
, podľa teórie Lebesgueovho integrálu má byť interval cez ktorý integrujeme lebesgueovsky merateľný. Interval je podmnožina množiny reálnych čísel, teda je to zjednotenie množiny racionálnych čísel a množiny iracionálnych čísel (teda množina iracionálnych čísel je rovná množinovému rozdielu reálne čísla – racionálne čísla :
.Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny :
(racionálne čísla) rovná 0, :
, pretože ide o spočítateľnú množinu, teda príspevok všetkých racionálnych čisel k integrálu je 0. Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny :
( na intervale ). V iracionálnych čislach je však 
, teda aj príspevok iracionálnych je rovný 0. Teda platí, že 
.
