Granica niewłaściwa funkcji

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

[edytuj] Definicje Heinego

1.1 Definicja (Heinego granicy właściwej funkcji w nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale $(a,\infty)$ , $-\infty\leq a<\infty$ . Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w $\infty$ , co zapisujemy

$\lim_{x \to\infty} f(x) =g$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_n)}\forall {(x_n) \subset (a,\infty)} [(\lim_{n \to\infty}x_n=\infty) \rightarrow (\lim_{n \to\infty} f(x_n)=g)]$

1.2 Definicja (Heinego granicy właściwej funkcji w minus nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale $(-\infty,a)$ , $-\infty\leq a<\infty$ . Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w $-\infty$ , co zapisujemy

$\lim_{x \to{-\infty}} f(x) =g$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_n)}\forall {(x_n) \subset (-\infty,a)} [(\lim_{n \to\infty}x_n=-\infty) \rightarrow (\lim_{n \to\infty} f(x_n)=g)]$

1.3 Definicja (Heinego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale $(a,\infty)$ , $-\infty\leq a<\infty$ . Funkcja f ma w $\infty$ granicę niewłaściwą $\infty$ , co zapisujemy

$\lim_{x \to\infty} f(x) =\infty$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_n)}\forall {(x_n) \subset (a,\infty)} [(\lim_{n \to\infty}x_n=\infty) \rightarrow (\lim_{n \to\infty} f(x_n)=\infty)]$

1.4 Definicja (Heinego granicy niewłaściwej funkcji w minus nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale $(-\infty,a)$ , $-\infty\leq a<\infty$ . Funkcja f ma w $-\infty$ granicę niewłaściwą $\infty$ , co zapisujemy

$\lim_{x \to{-\infty}} f(x) =\infty$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_n)}\forall {(x_n) \subset (-\infty,a)} [(\lim_{n \to\infty}x_n=-\infty) \rightarrow (\lim_{n \to\infty} f(x_n)=\infty)]$

1.5 Definicja (Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale $(a,\infty)$ , $-\infty\leq a<\infty$ . Funkcja f ma w $\infty$ granicę niewłaściwą $-\infty$ , co zapisujemy

$\lim_{x \to\infty} f(x) =-\infty$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_n)}\forall {(x_n) \subset (a,\infty)} [(\lim_{n \to\infty}x_n=\infty) \rightarrow (\lim_{n \to\infty} f(x_n)=-\infty)]$

1.6 Definicja (Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w minus nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale $(-\infty,a)$ , $-\infty\leq a<\infty$ . Funkcja f ma w $-\infty$ granicę niewłaściwą $-\infty$ , co zapisujemy