Igła Buffona

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

W statystyce matematycznej, Igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon^[1], a w 1777 podał on jego rozwiązanie ^[2]. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo.

[edytuj] Opis problemu i rozwiązanie

Mamy planszę z zaznaczonymi poziomymi liniami odległymi od siebie o $d\,$ . Upuszczamy na nią igłę o długości $l\,$ , przy czym $l \leq d\,$ . Eksperyment powtarzamy $n\,$ razy, i zliczamy ile razy igła przecięła którąś z linii siatki, otrzymując wartość $R\,$ . Jak oszacować stosunek $\frac{R}{n}$ , czyli prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii?

Niech $x\,$ będzie odległością środka igły od najbliższej linii, a $\theta\,$ ostrym kątem między igłą a linią. Obie zmienne losowe są niezależne i podlegają rozkładowi równomiernemu:

$x \sim U \left[ 0,\frac{d}{2} \right],\ \ \theta \sim U \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]$

Igła przetnie linię jeśli

$x \leq \frac{l}{2}\sin\theta$

Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_0^{(l/2)\sin\theta} \frac{2}{\pi}\cdot\frac{2}{d}\,dx\,d\theta = \frac{2l}{d\pi}.$

Ponieważ eksperyment pozwala oszacować prawdpopodobieństwo przecięcia linii i igły przez $\frac{R}{n}$ , otrzymujemy równość:

$\frac{R}{n} = \frac{2l}{d\pi}$ ,

która po przekształceniu daje:

$\pi = \frac{2ln}{dR}$

[edytuj] Komentarze

Pierwotna wersja problemu dotyczyła oszacowania prawdopodobieństwa w grze Franc-Carreau polegającej na rzucaniu okrągłą monetą na podłogę podzieloną na kwadraty^[3]. Przegrana następowała jeśli moneta upadła na linię.

Łatwo zauważyć, że znając liczbę π opisany eksperyment może służyć jako estymacja innych zmiennych, np. długości igły.

[edytuj] Przypisy

↑ Métin Frédéric. "La mémoire des nombres. Buffon et le problème de l'aiguille : Le mémoire sur le jeu de Franc-Carreau de 1733". p. 343-359, IREM de Basse-Normandie Caen, 1997
↑ Georges Buffon. "Essai d'arithmétique morale", 1777
↑ Scott E. Brodie. "Buffon's Needle Problem", http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml