Lemat Riemanna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Lemat Riemanna

Niech f(x) będzie funkcją rzeczywistą, zmiennej rzeczywistej ciągłą w przedziale [a;b] za wyjątkiem skończonej ilości punktów. Ma miejsce następująca równość:

$\lim_{\nu \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx = 0$

Dowód

1. Dla funkcji tożsamościowo równej 1

$\left| \int\limits_{a}^{b} \sin \nu x dx \right| = \left| \frac{\cos \nu a - \cos \nu b}{\nu} \right| \leq \frac{2}{\nu} \to 0$

w związku z tym twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji f(x) = 1

2. Dla funkcji f(x) = x

$\left| \int\limits_{a}^{b} x \sin \nu x dx \right| = \left| \left( \frac{\sin \nu x}{\nu^2} - \frac{x \cos \nu x}{\nu} \right)\left| {a \atop b} \right. \right| = \left| \frac{\sin \nu a - \sin \nu b}{\nu^2} + \frac{b \cos \nu b - a \cos \nu a}{\nu} \right| \leq \frac{2}{\nu^2} + \frac{|a|+|b|}{\nu} \to 0$

3. Dla funkcji liniowej f(x) = ax + b $a, b \in \mathbb{R}$ Słuszność twierdzenia dla tak określonej funkcji wynika z punktów 1 i 2 oraz własności liniowości całki oznaczonej.

4. Dla funkcji przedziałami liniowej Jeżeli funkcja jest liniowa w skończonej ilości podprzedziałów przedziału [a; b] to na mocy 3 jest w każdym z tych podprzedziałów jest słuszny lemat Riemmana wskutek czego twierdzenie jest słuszne w przedziale [a; b]

5. Dla funkcji ciągłej na przedziale [a;b]

Można przypuszczać że funkcję ciągłą na [a;b] da się aproksymować za pomocą funkcji przedziałami liniowej z dowolną dokładnością. Oczywistym jest wówczas że lemat Riemmana (na podstawie punktu 4) jest prawdziwy także dla dowolnej funkcji ciągłej.

Istotnie w tym przypadku intuicja nie zawodzi, co można wykazać przeprowadzając poniższe rozumowanie.

Jeżeli funkcja jest ciągła na [a;b] to (na mocy twierdzenia Cantora) jest jednostajnie ciągła na [a;b] (przedział ten jest zbiorem zwartym).

Wybierzmy pewną liczbę є, wybór ten pociąga za sobą istnienie pewnej liczby δ, takiej że dla dowolnych wartości $x_1, x_2 \in [a; b]$ , fakt $| x 1 - x 2 | < δ$ pociąga za sobą $| f (x 1) - f (x 2) | < ε$ , obierzmy następnie liczby a=c_0 < c_1 < ... < c_n = b </math> w taki sposób aby $| c n - c n - 1 | < δ$ . Wyobraźmy sobie funkcję φ(x) liniową w każdym z przedziałów $[c n - 1; c n]$ i o własności $f (c n) = φ(c n)$ Weźmy x należączy do przedziału $[c n - 1; c n]$ Korzystając z faktu że φ jest liniowa wiemy, iż φ(x) leży pomiędzy $φ(c n - 1)$ i $φ(c n)$ dlatego liczba φ(x) - f(x) leży pomiędzy liczbami $φ(c n - 1) - f (x)$ i $φ(c n) - f (x)$ które mają moduł mniejszy od ε. Co za tym idzie:

$| φ(x) - f (x) | < ε$

Wynika z tego, że dla dowolnej ciągłej funkcji f(x) można znaleźć taką funkcję φ(x) taką że:

$| \phi (x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2(b-a)}$

przedziałami liniową, to znaczy (na mocy 4) spełniającą lemat Riemanna: $\left| \int\limits_{a}^{b} \phi (x) \sin \nu x dx \right| < \frac{1}{2} \epsilon$

czyli: $\left| \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx \right| \leq \left| \int\limits_{a}^{b} (f(x) - \phi (x) ) \sin \nu x dx \right| + \left| \int\limits_{a}^{b} \phi (x) \sin \nu x dx \right| \leq \frac{\epsilon}{2(b-a)} (b - a) + \frac{1}{2} \epsilon = \epsilon$

Co dowodzi słuszności twierdzenia dla funkcji ciągłej

6. Dla funkcji posiadającej jeden punkt nieciągłości w punkcie c.

Całkę występującą w twierdzeniu rozbijamy na sumę całek: $\int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx = \int\limits_{a}^{c} f(x) \sin \nu x dx +\int\limits_{c}^{b} f(x) \sin \nu x dx = \int\limits_{a}^{c} \phi_1(x) \sin \nu x dx +\int\limits_{c}^{b} \phi_2(x) \sin \nu x dx$

Przy czym funkcje $φ 1 (x),φ 2 (x)$ są równe funkcji f(x) (odpowiednio) na przedziale [a, c) i (c, a] a w punkcie c są uzupełnione tak aby były ciągłe w przedziałach [a, c] i [c, b] (korzystam z faktu, iż zmiana wartości w skończonej ilości punktów funkcji podcałkowej nie zmienia wartości całki).

Funkcje $φ 1 (x),φ 2 (x)$ są ciągłe więc (na mocy 5) przechodząc z ν do nieskończoności otrzymujemy tezę twierdzenia (równość jest zachowana w przejściu granicznym).

7. Dla funkcji posiadającej skończoną ilość punktów nieciągłości. Dzieląc przedział [a; b] na skończoną ilość podprzedziałów w których funkcja f(x) ma tylko jeden punkt nieciągłości na mocy 6. otrzymujemy tezę twierdzenia.

QED

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../l/e/m/Lemat_Riemanna_7058.html"

Kategoria: Twierdzenia matematyczne

Lemat Riemanna

Z Wikipedii

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj