Małe twierdzenie Fermata

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Małe twierdzenie Fermata (MTF) mówi, że:

jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, nie dzielącą liczby całkowitej $a$ , to $p$ dzieli liczbę $a p - 1 - 1$ .

Następujący wniosek z MTF również często nosi nazwę MTF:

jeżeli

p

jest liczbą pierwszą,

a

dowolną liczbą całkowitą, to

p

dzieli liczbę

a p - a

Twierdzenie to sformułował bez dowodu (jak większość swoich twierdzeń) francuski matematyk Pierre de Fermat.

[edytuj] Dowody

[edytuj] Dowód przez użycie twierdzenia Eulera

Jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, nie dzielącą liczby całkowitej $a$ , to $p$ jest względnie pierwsze względem $a$ , a więc w myśl twierdzenia Eulera o liczbach względnie pierwszych teza twierdzenia jest prawdziwa.

[edytuj] Dowód kombinatoryczny

Możemy założyć, że a jest całkowite dodatnie.

Rozpatrzmy wszystkie możliwe kolorowania koła podzielonego na p części za pomocą a kolorów. Kolorowania, które możemy na siebie nałożyć po obróceniu liczymy jako dwa różne. Wszystkich kolorowań jest $a p$ .

Wszystkie kolorowania, w których wykorzystaliśmy co najmniej dwa kolory możemy obracać tak, że otrzymamy zestawy po p parami różnych kolorowań, które są swoimi obrotami (przykładowe cztery z pewnego zestawu dla p=7, a=3 są przedstawione na rysunku). Jeżeli w pewnym zestawie utworzanym w ten sposób wystąpiłyby takie same kolorowania, to oznaczałoby to, że kąt pełny jest wielokrotnością pewnego kąta $\frac {2 \pi \cdot n}{p}$ , o który trzeba obrócić jedno z tych kolorowań, aby otrzymać drugie. W przypadku, gdy wykorzystaliśmy więcej niż jeden kolor nie jest to możliwe. Zatem