Twierdzenie Lagrange'a (teoria grup)
Z Wikipedii
Twierdzenie Lagrange'a – twierdzenie teorii grup umożliwiające badanie struktury grupy.
Spis treści |
[edytuj] Treść
Jeśli G jest grupą skończoną, zaś H jest jej podgrupą, to rząd grupy H (liczba jej elementów) jest dzielnikiem rzędu grupy G:
.
[edytuj] Dowód
Niech G będzie grupą skończoną. Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych 
grupy G względem podgrupy H. Zbiór ten stanowi rozbicie zbioru G na n = | G:H | (z definicji indeksu podgrupy) równolicznych ze zbiorem H zbiorów 
.
Stąd
,
ponieważ poszczególne warstwy są rozłączne, to
,
a skoro wszystkie warstwy są równoliczne z H jest więc
,
zatem
- .
Dowód w przypadku ogólniejszym (bez założenia skończoności grupy G) nie zmienia istoty dowodu.
[edytuj] Wnioski
- Ponieważ rząd elementu jest równy rzędowi grupy przez niego generowanego, to konsekwencją tego twierdzenia jest fakt, że rząd dowolnego elementu grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu tej grupy
- Szczególnym przypadkiem powyższego wniosku jest
, gdzie e oznacza element neutralny skończonej grupy G.
- Jeżeli | G | = p, gdzie p jest liczbą pierwszą, to grupa G jest cykliczna.
[edytuj] Uwagi
- Twierdzenie Lagrange'a nie gwarantuje nam, że skoro istnieje liczba dzieląca rząd grupy, to istnieje podgrupa tego rzędu. Częściową odpowiedź na pytanie dla których z tych liczb istnieje taka podgrupa daje twierdzenie Sylowa.
