Macierz gęstości

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Macierz gęstości (ang. density matrix) lub operator gęstości (ang. density operator) to matematyczna reprezentacja stanu układu kwantowego. Stany kwantowe opisywane macierzami gęstości nie będącymi operatorami rzutowymi są nazywane stanami mieszanymi.

Formalizm operatorów gęstości został wprowadzony przez Johna von Neumanna w 1927.

[edytuj] Własności

Dla układu kwantowego opisywanego w przestrzeni Hilberta $\mathcal{H}$ , macierz gęstości to operator liniowy $\rho:\mathcal{H}\to\mathcal{H}$ , taki że

$ρ$ jest samosprzężony,
$ρ$ jest dodatnio określony,
$| | ρ | | 1 = 1$ ,

gdzie norma $| | * | | 1$ jest zdefiniowana w następujący posób

$||\rho||_1=\sum_i \langle x_i,\rho x_i\rangle,$

dla dowolnej bazy ${x i}$ w przestrzeni $\mathcal{H}$ .

Stany czyste układu kwantowego są opisane prze operatory gęstości, które są operatorami rzutowymi na jednowymiarowe podprzestrzenie przestrzeni Hilberta układu.

Zbiór wszystkich macierzy gęstości na przestrzeni Hilberta $\mathcal{H}$ jest oznaczany jako $S(\mathcal{H})$ . Jest to zbiór wypukły, co oznacza, że każdy operator gęstości może być przedstawiony jako kombinacja wypukła:

ρ =	∑	a_iσ_i
	i

gdzie $\sigma_i\in S(\mathcal{H})$ , $0\leq a_i\leq1,\ i=1,2,\ldots,n$ oraz

∑	a_i = 1
i

Przedstawienie to jest niejednocznaczne, co oznacza że stan mieszany układu kwantowego może być zrealizowany jako próbka stanów czystych na wiele sposobów.

Stany czyste są punktami ekstermalnymi zbioru macierzy gęstości i jako takie mają jednoznaczne przedstawienie.

[edytuj] Formuła Borna-von Neumana

W wyniku pomiaru obserwabli $X$ na układzie opisanym przez operator gęstości $ρ$ , otrzymujemy rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni możliwych wyników opisany wzorem

$\mu_\rho^X(\omega)=\operatorname{Tr}(f_X(\omega)\rho)$ ,

gdzie $f_X:\mathcal{B}(R)\to X$ to rozkład spektralny obserwabli $X$ .

[edytuj] Przykład

W odniesieniu do spektroskopii NMR operator macierzy gęstości $\hat \rho$ opisuje średnią statystyczną układu spinów po wszystkich stanach $ψ$ , w których się one znajdują: $\hat \rho=\overline{|\psi\rangle\langle\psi|}$ . Elementy diagonalne macierzy $ρ αα$ oraz $ρ ββ$ , odpowiadające stanom własnym energii Zeemana $|\alpha\rangle, |\beta\rangle$ odpowiadają spinom będącym na głównych poziomach energetycznych spinów w polu magnetycznym, są to tzw. [populacje]. Elementy poza diagonalne $ρ βα$ , $ρ αβ$ w macierzy nazwane są [koherencjami], odpowiadają one superpozycjom stanów.