Miara zewnętrzna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Miara zewnętrzna (Carathéodory'ego) – funkcja określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru o wartościach w zbiorze liczb nieujemnych charakteryzująca się monotonicznością i przeliczalną podaddytywnością oraz przypisującą zbiorowi pustemu wartość zero.

Prace nad miarą zewnętrzną rozpoczął matematyk grecki Constantin Carathéodory, którego nazwiskiem nazywa się ten rodzaj funkcji.

[edytuj] Definicja formalna

Niech $X$ będzie zbiorem. Miarą zewnętrzną nazywamy funkcję $\mu^\star\colon 2^X \to [0, \infty]$ , spełniającą następujące trzy warunki:

$\mu^\star (\varnothing) = 0$ ,
$A \subset B \subset X \implies \mu^\star(A) \le \mu^\star(B)$ ,
$\mu^\star\left(\bigcup_{n \in \mathbb N}~A_n \right) \le \sum_{n \in \mathbb N}~\mu^\star(A_n)$ dla każdego ciągu $(A n)$ podzbiorów zbioru $X$ .

Z powyższej definicji wynika bezpośrednio następująca własność:

$\mu^\star\left(\bigcup_{j \in J}~A_j \right) \le \sum_{j \in \mathbb J}~\mu^\star(A_j)$ dla każdej rodziny $\{A_j: j \in J\}$ podzbiorów zbioru

X

, gdzie $J \subseteq N$ .

[edytuj] Uwagi

Każda miara określona na klasie wszystkich podzbiorów zbioru $X$ jest miarą zewnętrzną w $X$ . Z kolei jeśli miara zewnętrzna jest przeliczalnie addytywna to jest ona miarą. Miara zewnętrzna jest funkcją przeliczalnie podaddytywna, podczas gdy miara jest skończenie-addytywna.

Podstawową własnością miary zewnętrznej jest to, że zawsze istnieje σ-ciało podzbiorów przestrzeni $X$ , zwanych zbiorami mierzalnymi (w sensie Carathéodory'ego), po obcięciu do którego dana miara zewnętrzna staje się miarą.

[edytuj] Warunek Carathéodory'ego

Niech $\mu^\star$ będzie miarą zewnętrzną w $X$ . Mówimy, że zbiór $A \subset X$ spełnia warunek Carathéodory'ego względem $\mu^\star$ , jeśli

$\mu^\star(W \cup Z) = \mu^\star(W) + \mu^\star(Z)$ ,

dla dowolnych zbiorów $W \subset A,\; Z \subset A^c$ (zbiór $W$ jest "wewnętrzny", zaś $Z$ – "zewnętrzny" w stosunku do $A$ ).

Istnieje również inna, równoważna forma powyższego warunku. Otóż zbiór $A$ nazywamy $\mu^\star$ -mierzalnym, jeżeli dla każdego $A \subset X$ zachodzi

$\mu^\star(A\cap E) + \mu^\star(A \setminus E) = \mu^\star(A)$ .

Z podaddytywności wynika, iż jest on równoważny warunkowi

$\mu^\star(A\cap E) + \mu^\star(A \setminus E) \le \mu^\star(A)$ .

Zbiory spełniające warunek Carathéodory'ego oprócz nazywania $\mu^\star$ -mierzalnymi nazywa się również zbiorami Carathéodory'ego.

[edytuj] Zastosowania

Twierdzenie Carathéodory'ego dowodzi, że rodzina zbiorów $\mathfrak M$ spełniających warunek Carathéodory'ego względem miary zewnętrznej $\mu^\star$ (czyli $\mu^\star$ -mierzalnych zbiorów) jest σ-ciałem, a sama miara zewnętrzna $\mu^\star$ obcięta do $\mathfrak M$ staje się miarą na tym σ-ciele.

Zauważmy, że tak skonstruowana miara będzie zawsze zupełna, ponieważ wszystkie zbiory mające miarę zewnętrzną zero będą mierzalne w tej mierze. Koncept miary zewnętrznej i twierdzenie Carathéodory'ego jest podstawą konstrukcji wielu miar, w tym miary Lebesgue'a, czy ogólniej miary Hausdorffa.

[edytuj] Miara metryczna

Niech $(X,\varrho)$ będzie będzie przestrzenią metryczną oraz $(2 X, d)$ będzie przestrzenią metryczną z metryką $d(A,B)=\left\{\begin{array}{l}\inf\{\varrho(x,y)\colon x\in A, y\in B\},\; A\neq\emptyset\neq B\\ +\infty,\; A=\emptyset \vee B=\emptyset\end{array}\right.$
Miarę zewnętrzną $\mu\colon 2^X\longrightarrow [0,\infty]$ nazywamy metryczną, gdy

$\bigwedge_{A,B\subset X}$ $\left[ d(A,B)>0 \Rightarrow \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)\right]$

[edytuj] Bibliografia

A. Birkholc, "Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych", PWN, Warszawa 1986.
J. Jakubowski, R. Sztencel, "Wstęp do teorii prawdopodobieństwa", SCRIPT, Warszawa 2000; ISBN 83-904564-4-3.