Pierścień noetherowski
Z Wikipedii
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Pierścieniem noetherowskim nazywa się taki pierścień R przemienny z jedynką, którego każdy ideał jest skończenie generowany. Oznacza to, że dla każdego ideału I pierścienia R istnieją takie elementy 
, że 
.
Równoważnie, można powiedzieć, że pierścień R jest noetherowski, jeżeli każdy ideał tego pierścienia można przedstawić w postaci skończonej sumy ideałów głównych pierścienia R.
[edytuj] Przykłady
1. Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
2. Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem noetherowskim, co więcej: każdy ideał tego pierścienia jest ideałem głównym, tzn. 
.
[edytuj] Własności
1. Pierścień R jest noetherowski dokładnie wtedy, gdy każdy ciąg jego wstępujących ideałów stabilizuje się.
2. Twierdzenie Hilberta o bazie: Jeżeli pierścień R jest noetherowski, to jego pierścień wielomianów ![R\left[X\right]](../../../math/f/9/8/f9862bdb18b3e5c56582a1d0e9f20dce.png)
również jest noetherowski.
