Grupa (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Definicja
2 Podobne struktury
3 Pojęcia
4 Fakty
5 Grupy jako składowe ciał
- 5.1 Grupy nieskończone
- 5.2 Grupy Zn
6 Przykłady
7 Bibliografia
8 Zobacz też

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych, niepusty zbiór na którym określono tylko jedno działanie dwuargumentowe. Skrótowo, możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny.

[edytuj] Definicja

Grupą nazywamy parę uporządkowaną $(G, \star)$ , gdzie $G$ jest dowolnym niepustym zbiorem, zaś $\star\colon G \times G \to G$ działaniem dwuargumentowym spełniającym następujące warunki:

$\forall_{a, b, c \in G}\; (a \star b) \star c = a \star (b \star c)$ zapewniający łączność działania
$\exists_{e \in G}\; \forall_{a \in G}\; e \star a = a \star e = a$ , gdzie $e$ nazywamy elementem neutralnym działania,
$\forall_{a \in G}\; \exists_{b \in G}\; a \star b = b \star a = e$ , gdzie $b$ nazywamy elementem odwrotnym do elementu $a$ .

Jeżeli wprowadzone w zbiorze $G$ działanie nie wymaga precyzowania, to grupę $(G, \star)$ zapisuje się często po prostu jako grupę $G$ .

[edytuj] Uwagi

Czasem grupę $G$ opisuje się szerzej, wraz ze wskazaniem elementu neutralnego: $(G, \star, e)$ , z formalistycznego punktu widzenia można patrzeć na grupę jako czwórkę uporządkowaną $(G, \star, \;^', e)$ złożoną ze zbioru $G$ , działania dwuargumentowego $\star$ , działania jednoargumentowego $\;^'$ (branie elementu odwrotnego), działania zeroargumentowego $e$ (wskazanie elementu neutralnego).
Warunek łączności sprawia, że wyrażenia postaci $a \star b \star c$ mają sens, gdyż niezależnie od położenia nawiasów wynik działania będzie taki sam.
Grupa ma dokładnie jeden element neutralny:

Niech $e'$ będzie drugim obok $e$ elementem neutralnym grupy. Stosując dwukrotnie aksjomat 2. dla $e'$ oraz $e$ mamy wówczas $e^' = e^' \star e = e \star e^' = e$ .
Element odwrotny jest wyznaczany jednoznacznie:

Niech $a', a''$ będą różnymi elementami odwrotnymi do $a$ , z 3. aksjomatu mamy $a \star a^' = e$ oraz $a^{''} \star a = e$ .

Mnożąc $a \star a' = e$ lewostronnie przez $a''$ otrzymujemy:

$a^{''} \star (a \star a^') = a^{''} \star e \implies (a^{''} \star a) \star a^' = a^{''} \implies e \star a^' = a^{''} \implies a^' = a^{''}$
Elementem odwrotnym do elementu odwrotnego danego elementu jest ten sam element, niech $a'$ oznacza element odwrotny do $a$ :

$(a')' = a$ (działanie brania elementu odwrotnego jest inwolucją).

[edytuj] Przemienność

Zobacz więcej w osobnym artykule: grupa przemienna.

Dodawanie i mnożenie określone na typowych zbiorach liczbowych (liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych) są przemienne. Jeżeli działanie $\star$ w grupie $G$ spełnia dodatkowo warunek przemienności, czyli:

$\forall_{a,\; b \in G}\; a \star b = b \star a$ ,

to grupę $(G, \star)$ nazywamy grupą przemienną (abelową)

[edytuj] Zapis

Zobacz więcej w osobnych artykułach: grupa multiplikatywna, grupa addytywna.

Istnieją dwa główne zapisy grupy: multiplikatywny, używający oznaczeń działania mnożenia, oraz addytywny, wykorzystujący symbole wykorzystujące w dodawaniu. W zapisie multiplikatywnym, tak jak w zwykłym mnożeniu, znak kropki zwykle się opuszcza. Również samo działanie w grupie otrzymuję nazwę odpowiednio: mnożenia oraz dodawania.

	znak działania	element odwrotny do $a$	element neutralny	$n$ -krotne działanie elementu	uwagi
zapis multiplikatywny	$\cdot$	$a - 1$	$1$	$a n$ , nazywane potęgą
zapis addytywny	$+$	$- a$	$0$	$n a$ , nazywane krotnością	element odwrotny nazywa się elementem przeciwnym

Warto pamiętać, iż zapis addytywny jest stosowany w przypadku grup przemiennych (ma to swoje uzasadnienie w definicji pierścieni, czy ciał). W dalszej części artykułu stosować będziemy zapis multiplikatywny.

[edytuj] Podobne struktury

Zobacz więcej w osobnych artykułach: grupoid, półgrupa, monoid, quasi-grupa, lupa (struktura).

Niech $G$ będzie dowolnym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym $\star$ . Wzięcie tylko części aksjomatów grupy powoduje otrzymanie szeregu podobnych struktur również będących obiektami badań matematyków. $(G, \star)$ jest:

grupoidem bez dodatkowych założeń,
półgrupą, gdy działanie $\star$ jest łączne (pierwszy aksjomat grupy),
monoidem, gdy działanie $\star$ półgrupy ma element neutralny (pierwszy i drugi aksjomat grupy), znane także jako „półgrupa z jedynką”, niekiedy tą nazwą określa się również wszystkie grupoidy,
quasi-grupą, gdy branie elementu odwrotnego jest zawsze wykonywalne,
lupą (pętlą), gdy działanie $\star$ w quasi-grupie ma element neutralny.
grupą przemienną (abelową), gdy działanie $\star$ w grupie jest przemienne.

[edytuj] Pojęcia

[edytuj] Rząd grupy

Zobacz więcej w osobnym artykule: rząd (teoria grup).

Zobacz też: miara licząca, moc zbioru.

Rzędem grupy $G$ oznaczanym $| G |$ (także $\#G$ lub $\operatorname{rz } G$ ) nazywamy liczbę elementów zbioru $G$ , o ile jest on skończony (mówimy, że grupa jest skończona). Jeśli zbiór jest nieskończony, to mówimy, że grupa $G$ ma rząd nieskończony (grupa jest nieskończona), co zapisuje się jako $|G| = \infty$ . Warto pamiętać, że grupa zawsze zawiera jeden element, zatem rząd nie może być zerowy!

[edytuj] Zbiór generatorów

Zobacz też: grupa cykliczna.

Niech $G$ będzie grupą i $A\subset G$ . Niech $\mathcal{F}$ będzie rodziną wszystkich podgrup $H$ grupy $G$ takich, że $A\subset H$ . W rodzinie tej istnieje najmniejsza podgrupa $H 0$ taka, że $H_0\subset H$ dla każdego $H\in\mathcal{F}$ .

Podgrupę $H 0$ nazywamy podgrupą grupy $G$ , generowaną przez zbiór $A$ (jest to najmniejsza podgrupa grupy $G$ zawierająca zbiór $A$ ).

Oznaczenie: $H_0=\langle A \rangle$ . Oczywiście $\langle \varnothing \rangle =\{1\}$ . Gdy $A = {a}$ , to $\langle A \rangle = \langle \{a\} \rangle$ oznaczamy $\langle a \rangle$ i nazywamy podgrupą cykliczną generowaną przez $a\in G$ .

Jeśli dla podzbioru $A\subset G$ mamy $\langle A \rangle = G$ , to mówimy, że $A$ jest zbiorem generatorów grupy $G$ lub $A$ generuje $G$ . Oczywiście $\langle G \rangle = \langle G\setminus \{1\} \rangle$ .

Niech $G$ będzie grupą i $A\subset G$ . Wtedy:

$\langle A \rangle=\{a_1^{x_1}\cdot a_3^{x_3}\cdot\ldots\cdot a_s^{x_s}\colon a_1,\ldots, a_s\in A, x_1, \ldots, x_s\in \mathbb{Z}, s\in\mathbb{N}\}$ .

Oczywiście, jeśli $A = {a}$ , to $\langle a \rangle =\{a^x\colon x\in\mathbb{Z}\}$

Jeśli $A$ jest zbiorem skończonym oraz $\langle A \rangle = G$ , to mówimy, że $G$ jest skończenie generowana.

Grupę generowaną przez zbiór jednoelementowy nazywamy grupą cykliczną.

[edytuj] Rząd elementu

Rzędem elementu $g$ grupy skończonej $G$ nazywa się najmniejsze takie $n$ , że zachodzi $a n = 1$ . Rząd elementu oznacza się przez $o (g)$ . Równoważnie: jest to rząd podgrupy generowanej przez dany element.

[edytuj] Stopień grupy

Zobacz więcej w osobnym artykule: reprezentacja grupy.

Niech $G$ będzie grupą skończoną. Minimalnym (wiernym) stopniem tej grupy nazywamy najmniejszą liczbę $n \in \mathbb N$ taką, że $G \le S_n$ , gdzie $S n$ jest grupą symetryczną rzędu $n$ . Dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (wierną) reprezentacją grupy $G$ . Minimalny stopień oznaczamy $μ(G)$

[edytuj] Grupa wyjątkowa

Grupę $G$ nazywa się grupą wyjątkową^[1] ang. exceptional group), jeśli $G$ posiada podgrupę normalną $N$ taką, że $μ(G / N) > μ(G)$ . Wówczas $N$ nazywa się podgrupą wyróżnioną^[2] (ang. distinguished subgroup), zaś $G / N$ grupą ilorazową grupy $G$ .

[edytuj] Fakty

$\forall_{g \in G}\; \forall_{m,\; n \in \mathbb Z}\; g^{m+n} = g^m g^n$
$\forall_{g \in G}\; \forall_{m,\; n \in \mathbb Z}\; (g^m)^n = g^{mn}$
$\forall_{g, h \in G}\; (gh)^{-1} = (h^{-1} g^{-1})$ , ponieważ

$(gh)(h^{-1} g^{-1}) = \left( (gh) h^{-1} \right) g^{-1} = \left( g (hh^{-1}) \right) g^{-1} = g g^{-1} = e$ .

[edytuj] Grupy jako składowe ciał

Niech $(K, +, \cdot)$ będzie dowolnym ciałem (a nawet pierścieniem). Grupę $(K, + )$ nazywamy grupą addytywną ciała $K$ , a grupę $(K \setminus \{0\}, \cdot)$ grupą multiplikatywną tego ciała.

[edytuj] Grupy nieskończone

Stąd $(\mathbb Q, +),\; (\mathbb R, +),\; (\mathbb C, +)$ , czyli zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych z dodawaniem, są grupami, gdyż są grupami addytywnymi odpowiednio ciał: liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych. Podobnie grupy $(\mathbb Q^*, \cdot),\; (\mathbb R^*, \cdot),\; (\mathbb C^*, \cdot)$ . Grupą nieskończoną jest też zbiór liczb całkowitych z dodawaniem: $(\mathbb Z, +)$ , nie jest nią zaś $(\mathbb Z \setminus \{0\}, \cdot)$ - przykładowo brak elementu odwrotnego do $2$ .

[edytuj] Grupy Z_n

Zobacz więcej w osobnych artykułach: grupa Zn, grupa Zn*.

Dla naturalnych $n > 1$ wyróżniamy grupy addytywną i multiplikatywną modulo $n$ :

$(\mathbb Z_n, +)$ , czyli zbiór liczb całkowitych z przedziału $\langle 0;n)$ z działaniem dodawania modulo $n$ (addytywna) oraz
$(\mathbb Z^*_n, \cdot)$ , czyli zbiór liczb całkowitych z przedziału $\langle 1;n)$ , względnie pierwszych z n z działaniem mnożenia modulo $n$ (multiplikatywna).

[edytuj] Przykłady

Zbiór $- 1,1$ z działaniem mnożenia, czyli grupa $(\mathbb Z_2, \cdot)$ .
Zbiór wektorów na płaszczyźnie euklidesowej z działaniem dodawania wektorów.
Zbiór izometrii płaszczyzny z działaniem składania przekształceń.
Grupa permutacji $S X$ dowolnego zbioru $X$ .
$(\mathbb Q^+, \cdot), (\mathbb R^+, \cdot)$ , czyli podzbiory odpowiednich ciał bez liczb ujemnych z naturalnym działaniem mnożenia.

[edytuj] Bibliografia

A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005;
Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4;
D. Easdown, C. E. Praeger, On minimal faithful permutation representations of finite groups., Bull. Aust. Math. Soc. 38, No.2, 207-220 (1988), ISSN 0004-9727 [1].

[edytuj] Zobacz też

badanie grupy

grupy o specjalnych własnościach

grupa wolna,
p-grupa,

ważne rodzaje grup

twierdzenia

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../g/r/u/Grupa_%28matematyka%29.html"

Kategoria: Teoria grup

Grupa (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przemienność

[edytuj] Zapis

[edytuj] Podobne struktury

[edytuj] Pojęcia

[edytuj] Rząd grupy

[edytuj] Zbiór generatorów

[edytuj] Rząd elementu

[edytuj] Stopień grupy

[edytuj] Grupa wyjątkowa

[edytuj] Fakty

[edytuj] Grupy jako składowe ciał

[edytuj] Grupy nieskończone

[edytuj] Grupy Z_n

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

Grupa (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przemienność

[edytuj] Zapis

[edytuj] Podobne struktury

[edytuj] Pojęcia

[edytuj] Rząd grupy

[edytuj] Zbiór generatorów

[edytuj] Rząd elementu

[edytuj] Stopień grupy

[edytuj] Grupa wyjątkowa

[edytuj] Fakty

[edytuj] Grupy jako składowe ciał

[edytuj] Grupy nieskończone

[edytuj] Grupy Zn

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

[edytuj] Grupy Z_n