Equações de Navier-Stokes

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As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão.

Índice

1 Equações
2 Introdução
3 Suposições básicas
4 A derivada material
5 Leis de Conservação
- 5.1 Equação da continuidade
- 5.2 Conservação do momento
6 A equação
- 6.1 Forma Geral
  - 6.1.1 A forma das equações
7 Formas especiais
8 Veja também
9 Referências

[editar] Equações

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial \left(\rho v_{x}\right)}{\partial x}+\frac{\partial \left(\rho v_{z}\right)}{\partial z}=0$ $\rho \left(\frac{\partial v_{x}}{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+v_{z}\frac{\partial v_{x}}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}-\left(\frac{\partial \tau _{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z}\right)$ $\rho \left(\frac{\partial v_{z}}{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{z}}{\partial x}+v_{z}\frac{\partial v_{z}}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial z}-\left(\frac{\partial \tau _{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau _{zz}}{\partial z}\right)+\rho g$

$\frac{\partial}{\partial t}ui+ \Sigma uj\frac{\partial ui}{\partial xj}=V \Delta ui-\frac{\partial p}{\partial xi}+fi(x,t)$

[editar] Introdução

As equações de Navier-Stokes foram denominadas assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o produto (resultado) das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando em dentro do fluido. Esta força viscosa se origina na interação molecular e atua como gavinhas para fluido. Portanto, a equação de Navier-Stokes é um equilíbrio dinâmico do balanço de forças atuando em qualquer região do fluido.

Elas são um dos mais uteis conjunto de equações porque eles descrevem a física de um grande número de fenômenos de interesse econômico e acadêmico. Elas são usadas para modelar o clima, corrente oceânicas, fluxos da água em canos, movimentos das estrelas dentro da galáxia, fluxo ao redor de aerofólios (asas), propagação de fumaça em incêndios, etc. Elas também são usadas no projeto de aeronaves e carros, o estudo do fluxo sangüíneo, o projeto de usinas de força, a analise dos efeitos da poluição, etc. Juntamente com as equações de Maxwell, elas podem ser usadas para a modelagem e estudos na magnetodinâmica.

As equaçõe de Navier-Stokes são equações diferenciais que descrevem o movimento do fluido. Estas equações, diferentes das equações algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por exemplo. velocidade e pressão), em vez disto, elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. Em termos matemáticos, estas razões correspondem a suas derivadas. As equações de Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna.

Isto significa que as soluções das equações de Navier-Stokes para um dado problema físico devem ser obtidas com a ajuda do cálculo. Em termos práticos, somente os casos mais simples podem ser resolvidos desta forma e suas soluções exatas são conhecidas. Estes casos freqüentemente envolvem fluxo não-turbulento em estado estacionário (o fluxo não varia como o tempo) no qual a viscosidade do fluido é grande ou sua velocidade pequena (número de Reynolds pequenos).

Para situações mais complexas, tais como um sistema de clima global como o El Niño ou a sustentação em uma asa, as soluções para a equação de Navier-Stokes freqüentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores. Este é um campo da ciência conhecido como CFD, sigla do inglês Computational Fluid Dynamics ou Dinâmica dos Fluidos Computacional.

Embora a turbulência seja um fenômeno de nossa experiência diária, é extremamente difícil encontrar soluções para esta classe de problemas. Um prêmio de 1.000.000 U$ foi oferecido em Maio de 2000 pelo o Instituto de matemática Clay para qualquer um que fizer progressos substanciais na direção de uma matemática teórica que possa ajudar a entender este fenômeno.

[editar] Suposições básicas

Antes de entrar nos detalhes da equação de Navier-Stokes, é necessário fazer várias suposições à cerca dos fluidos. A primeira é que um fluido é um meio continuo. Isto significa que ele não contém vazios, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não consiste de partículas como da neblina. Outra hipótese necessária é que todas as variáveis de interesse tais como pressão, velocidade, densidade, temperatura, etc., são diferenciáveis (isto é, não tem transição de fase).

Estas equações são obtidas de princípios básicos de conservação da massa, momento, e energia. Para este objetivo, algumas vezes é necessário considerar um volume arbitrariamente finito, chamado de um volume de controle, sobre o qual estes princípios possam ser facilmente aplicados. Este volume é representado por $Ω$ e sua superfície de confinamento por $\partial \Omega$ . O volume de controle permanece fixo no espaço ou pode mover-se como o fluido. Isto conduz, contudo, para considerações especiais, como será mostrado a seguir.

[editar] A derivada material

As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas de duas formas diferentes. Isso será ilustrado através de um exemplo, utilizando a medição da velocidade do vento na atmosfera. Uma forma de medir estas mudanças é com a ajuda de anemômetro em uma estação climática, ou pela liberação de um balão atmosférico. Claro que o balão é mais indicado para medição da velocidade de todas as partículas que passam através de um ponto fixo no espaço. Contudo, no segundo caso, o instrumento está medindo mudanças na velocidade a medida que ele se move com o fluido. A mesma situação surge com medidas da mudança da densidade, temperatura, etc. Contudo, quando aplicamos uma diferenciação devemos destacar as diferenças destes dois casos. A derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é conhecida como espacial ou derivada de Euler. A derivação acompanhando o movimento de uma partícula é chamada de substantiva ou derivada Langragiana.

A derivada material é definida pelo operador:

$\frac{D}{Dt}(\cdot) \equiv \frac{\partial(\cdot)}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)(\cdot)$

onde $\mathbf{v}$ é a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equação é a derivada tradicional de Euler (isto é, a derivada com referência a um ponto fixo de referência) contudo o segundo termo representa as mudanças trazidas pelo movimento do fluido.

[editar] Leis de Conservação

As equações de Navier-Stokes são derivadas dos princípios da conservação da:

Massa
Energia
Momento
Momento Angular

Adicionalmente, é necessário assumir uma relação constitutiva ou equação de estado para o fluido.

Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de mudança de uma propriedade continua $L$ definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume, carregado para fora pelo movimento do fluido, mais o que é criado/consumido pelas fontes e sorvedouros dentro do volume de controle. Isto é expresso pela equação integral:

$\frac{d}{dt}\int_{\Omega} L \; d\Omega = -\int_{\partial\Omega} L\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega+ \int_{\Omega} Q d\Omega$

Onde v é a velocidade do fluido e representa as fontes e sorvedouros no fluido.

Se o volume de controle é fixado no espaço então a equação integral pode ser expressa assim:

$\frac{d}{d t} \int_{\Omega} L d\Omega = -\int_{\Omega} \nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) d\Omega + \int_{\Omega} Q d\Omega$

Note que o teorema da divergência de Gauss foi usado na dedução desta última equação, de forma a expressar o primeiro termo do lado direito no interior do volume de controle Portanto:

$\frac{d}{dt}\int_{\Omega} L d\Omega = - \int_{\Omega} (\nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) - Q) d\Omega$

A expressão acima é válida para $Ω$ , que é um volume de controle que permanece fixo no espaço. Devido a $Ω$ não variar no tempo, é possível trocar os operadores " $\frac{d}{dt}$ " e " $\int_{\Omega}^{} d\Omega$ ". E como esta expressão é valida para todos os domínios podemos, além disso, remover a integral.

Com a introdução da derivada material obtemos, quando $Q = 0$ (nenhuma fonte ou sorvedouro):

$\frac{\partial}{\partial t} L + \nabla\cdot\left(L \mathbf{v} \right) = \frac{D}{Dt}L + L \left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right) = 0$

[editar] Equação da continuidade

A conservação da massa é descrita assim:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0$

$=\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \nabla \rho$

$=\frac{D \rho}{D t} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

onde $ρ$ é a densidade de massa (massa por unidade de volume), e v é a velocidade do fluido.

No caso de um fluido incompressível, $ρ$ não é uma função do tempo ou espaço e a equação se reduz a:

$\nabla\cdot\mathbf{v} = 0$ :

[editar] Conservação do momento

A conservação do momento é expressa de maneira similar à equação de continuidade, com o componente vetor do momento substituindo o de densidade, e com um termo fonte para representar as forças que atuam no fluido.

Substituímos $ρ$ na equação de continuidade com o momento rede por unidade de volume ao longo de uma direção em particular, , $ρ v i$ , onde $v i$ é o $i t h$ componente da velocidade, isto é, a velocidade ao longo das direções x, y, ou z.

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v_i \right) + \nabla \cdot (\rho v_i \mathbf{v}) = \rho f_i .$

$ρ f i$ é a $i t h$ componente da força atuando no fluido (sempre força por unidade de volume. As forças comumente encontradas incluem a gravidade e gradientes de pressão. Isto também pode ser expresso como:

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\mathbf{v}\right) + \nabla(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \rho \mathbf{f}$

Note que $\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}$ é um tensor, o $\otimes$ representa o produto tensorial.

Nos podemos simplificar isto mais, usando a equação de continuidade, obtendo:

$\rho\frac{D v_i}{D t}=\rho f_i$

a qual é frequentemente escrita como:

$\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t}=\rho \mathbf{f}$

Na qual reconhecemos o usual F=ma.

[editar] A equação

[editar] Forma Geral

[editar] A forma das equações

A forma geral das equações de Navier-Stokes para a conservação do momento é:

$\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla \cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{f}$

onde $ρ$ é a densidade do fluido, v é o vetor velocidade, e f é o vetor de força do corpo. O tensor $\mathbb{P}$ representa as forças superficiais aplicadas na partícula fluida (o tensor tensão). A menos que o fluido possua um grau de liberdade de rotação, tal como em um vórtice, $\mathbb{P}$ é um tensor simétrico. Em geral, temos a forma:

$\mathbb{P} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} p&0&0\\ 0&p&0\\ 0&0&p \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sigma_{xx}+p & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy}+p & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}+p \end{pmatrix}$

onde os $σ$ são a tensão normal, $τ$ tensão tangencial (tensão cisalhamento), e p é a pressão estática, associada como a parte isotrópica do tensor de tensões sem considerar se o fluido está ou não em equilíbrio.

Finalmente, temos:

$\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \rho\mathbf{f}$

onde $\mathbb{T}$ é a somatória da diagonal principal de $\mathbb{P}$ .

Esta equação está ainda incompleta. Para completá-la, deve ser feita uma hipótese na forma de $\mathbb{P}$ , que é uma necessária lei constitutiva para o tensor de tensões como mostrado abaixo.

O fluxo é tido como sendo diferenciável e contínuo, permitindo que as leis de conservação sejam expressas como equações diferenciais parciais. No caso de fluidos incompressíveis (densidade constante), as variáveis a serem selecionadas são os componentes da pressão e velocidade. Os três componentes das equações de Navier-Stokes mais a conservação da massa (equação de continuidade) formam um sistema fechado de equações diferenciais parciais bem definidas para estas variáveis, que pode ser resolvido, em principio, para condições de contorno adequadas.

A equação pode ser convertida para equações de Wilkinson pelo uso de variáveis secundárias vorticidade e função de fluxo. A solução depende das propriedades do fluxo (tais como viscosidade, calor específico, e condutividade térmica), e das soluções de contorno do domínio de estudo.

[editar] Formas especiais

Estas são algumas simplificações usuais do problema para as quais algumas soluções são conhecidas.

[editar] Fluidos Newtonianos

Predefinição:Main Nos fluidos Newtonianos as seguintes hipóteses são válidas:

$p_{ij}=-p\delta_{ij}+\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)$

onde:

μ

é a viscosidade do fluido.

δ i j

é o delta Kronecker (1 for i=j; 0 for i $\ne$ j).

Para entender como isto foi derivado, notemos primeiro que no equilibrio, p_ij=-pδ_ij. Para um fluido Newtoniano, a variação do tensor força covariante do valor de equilíbrio é linear no gradiente da velocidade. Ele obviamente não pode depender da própria velocidade devido a Covariância de Galileu. Em outras palavras, p_ij+pδ_ij é linear na $\partial_i v_j$ . O fluido que são considerados aqui são invariante rotacionalmente (isto é, eles não são cristais líquidos.

[editar] Fluidos Bingham

Nos fluidos de fluidos Bingham, nos temos algo ligeiramente diferente:

$\tau_{ij}=\tau_0 + \mu\frac{\partial v_i}{\partial x_j},\;\frac{\partial v_i}{\partial x_j}>0$

Estes são fluidos capazes de suportar algum força de cisalhamento antes de iniciar o fluxo. Alguns exemplos comuns são pasta de dente e massa de modelagem.

[editar] Fluidos Incompressiveis

A equação de Navier-Stokes são

$\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[ 2\mu\left(e_{ij}-\frac{\Delta\delta_{ij}}{3}\right)\right]$

Para conservação de momento e

$\nabla\cdot\mathbf{v}=0$

para conservação de massa.

onde

ρ

é a densidade,

u i

(

i = 1,2,3

) são os tres components da velocidade,

f i

forces que atuam no corpo (tais como a gravidade),

p

a pressão,

μ

a viscosidade dinâmica, de um ponto do fluido;

$e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$ ;

Δ = e i i

é a divergência,

δ i j

é o delta Kronecker.

Se $μ$ é constante em todo o fluido, o momento da equação acima é simplificado para

$\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i} +\mu \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+ \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)$

Se agora adicionalmente $ρ$ é assumido constante nos obtemos o seguinte sistema:

$\rho \left({\partial v_x \over \partial t}+ v_x {\partial v_x \over \partial x}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}+ v_z {\partial v_x \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}+{\partial^2 v_x \over \partial y^2}+{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial x} +\rho g_x$

$\rho \left({\partial v_y \over \partial t}+ v_x {\partial v_y \over \partial x}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}+ v_z {\partial v_y \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}+{\partial^2 v_y \over \partial y^2}+{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial y} +\rho g_y$

$\rho \left({\partial v_z \over \partial t}+ v_x {\partial v_z \over \partial x}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}+ v_z {\partial v_z \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}+{\partial^2 v_z \over \partial y^2}+{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial z} +\rho g_z$

Equação de continuidade (assumindo imcompressibilidade):

${\partial v_x \over \partial x}+{\partial v_y \over \partial y}+{\partial v_z \over \partial z}=0$

Note que as equações de Navier-Stokes podem somente descrever o fluxo de um fluido aproximadamente, a uma escala extremamente pequenas ou sob condições extremas, fluidos reais são constituídos de uma mistura de moléculas discretas e outros materiais, tais como partículas em suspensão e gases dissolvidos, o que ira produzir resultados diferentes dos obtidos de um fluido continuo e homogêneo modelado pela equações de Navier-Stokes. Dependendo do número Knudsen do problema, a mecânica estatística deve ser uma abordagem mais apropriada. Contudo, as equações de Navier-Stokes são úteis para um grande número de problemas práticos, dentro de suas limitações.

[editar] Veja também

Teorema de transporte de Reynold
Número de Reynolds
Número Mach
Fluxo de Multifase
CFD

[editar] Referências

Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR
A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../e/q/u/Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Navier-Stokes_911a.html"

Categoria: Mecânica de fluidos