Função periódica

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O seno e o cosseno são funções periódicas.

Em matemática, uma função diz-se periódica se se repete ao longo da variável independente com um determinado período constante. Exemplos de funções periódicas bem conhecidas são as funções trigonométricas seno, co-seno, tangente, co-tangente, secante e co-secante que possuem período igual a 2π.

[editar] Definição de função real periódica

Um função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que $f (x + T) = f (x)$ para todo x real.

Observe que se uma função tem período T então $f (x + n T) = f (x)$ para todo n inteiro, ou seja, é também periódica de período nT.

A função constante $f (x) = c$ é T-periódica para qualquer T real.

O conjunto dos períodos de uma função $f (x)$ , $\mathbb{T}:=\{T\in\mathbb{R}:\forall x\in\mathbb{R}, f(x+T)=f(x)\}$ , pode ser vazio, discreto ou denso em $\mathbb{R}$ . Se esse conjunto for vazio, a função é aperiódica, se for discreto então pode ser escrito na forma $\{nT_{f}, n\in\mathbb{Z}\}$ onde $T f$ é um real positivo, chamado de período fundamental.

Um exemplo de função periódica não constante com períodos densos em $\mathbb{R}$ é a função indicadora de $\mathbb{Q}\,$ em $\mathbb{R}\,$ , definida como:

$\Chi_{\mathbb{Q}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, &x\in\mathbb{Q}\\0,&c.c.\end{array}\right.$

[editar] Propriedades de funções reais periódicas

O conjunto das funções periódicas de um certo período $T$ formam uma álgebra, ou seja, se $f (x)$ e $g (x)$ são T-periódicas, então:

f (x) + g (x)

é T-periódica

ii)

α f (x)

é T-periódica para todo

α

real

iii)

f (x) * g (x)

é T-periódica

possui ainda a propriedade de ser fechado em relação à translação:

iv)

f (x + h)

é T-periódica

O mesmo pode não acontecer quando não tentamos realizar as mesmas operações com função periódicas de períodos diferentes. Exemplo:

sin(x)

sin(π x)

são periódicas com período

2π

2

, respectivamente. No entanto

sin(x) + sin(π x)

é aperiódica.

Se uma função $f (x)$ é T-periódica e integrável, podemos definir sua média como:

$\mu=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)dx$

Para toda função real periódica com período fundamental $T f > 0$ , definimos a sua freqüência $f$ e sua velocidade angular $ω$ como:

$f=\frac{1}{T}$ e
$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$

[editar] Funções Complexas Duplamente Periódicas

Em análise complexa, existem funções meromorfas que são duplamente periódicas, ou seja:

$f(x + T_1) = f(x + T_2) = f(x) \mbox{ sendo } T_1 \mbox{ e } T_2\,$ números complexos cuja razão não é um número real.

As funções elípticas são exemplos de funções duplamente periódicas.

funções inteiras não constantes, no entanto, não podem ser duplo periódicas com periodos $T 1$ e $T 2$ linermente independentes nos reais. Pois tais funções seriam inevitavelmentes limitadas.