Periodická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice je periodickou funkcí funkce, která opakuje své hodnoty po určité konečné periodě, vztažené k její nezávislé proměnné. Je-li proměnnou čas, existuje bezpočet příkladů. Například periodické chování vykazují ručičky hodin nebo fáze Měsíce. Periodický pohyb je pohyb, v kterém lze pozice systému vyjádřit pomocí periodických funkcí, kdy všechny mají stejnou periodu.

Pro funkce nad reálnými čísly nebo nad celými čísly to znamená, že celý graf lze vytvořit pomocí kopírování určité části opakované v pravidelných intervalech. Přesněji řekneme, že funkce f je periodická s periodou t , jestliže

f(x + t) = f(x)

pro všechny hodnoty x v definiční oblasti f. Neperiodická funkce je taková, která nemá žádnou takovou periodu t > 0.

Jednoduchým příkladem je funkce f, který dává „zlomkovou část“ svého argumentu:

f( 0.5 ) = f( 1.5 ) = f( 2.5 ) = … = 0.5.

Jestliže je funkce f periodická s periodou t, pak pro všechna x v definičním oboru f a pro všechna celá čísla n platí

f( x + nt ) = f ( x ).

Ve výše uvedeném příkladu je tedy $x = 0.5$ a $t = 1$ , protože f( x ) = f( x + 1 ) = f( x + 2 ) = …

Nejmenší kladné číslo $t$ , které je periodou periodické funkce, označujeme jako primitivní perioda. Průběh periodické funkce je v každém intervalu $\langle n t, (n+1) t \rangle$ stejný.

Některými dalšími příklady jsou vlna zub pily, čtvercová vlna a trojúhelníková vlna.

Trigonometrické funkce jako jsou sinus a kosinus jsou rovněž periodickými funkcemi s periodou 2π. Základem Fourierových řad je myšlenka, že libovolná periodická funkce je součtem trigonometrických funkcí s odpovídajícími periodami.

Funkce, jejíchž definičním oborem jsou komplexní čísla, mohou mít 2 nesouměřitelné periody, bez toho, aby se jednalo o konstantní funkce. Takovými funkcemi jsou např. eliptické funkce. („Nesouměřitelnost“ v tomto kontextu znamená že neexistuje reálné číslo které by převádělo po vynásobení jednu periodu na druhou.)

[editovat] Obecná definice

Nechť E je množina s interní operací + . T-periodickou funkcí nebo periodickou funkcí s periodou T na E je funkce f na E taková, že

pro všechna x v E, f(x + T) = f(x).

Poznamenejme, že ačkoliv se předpokládá, že + komutativní, v této definici píšeme T napravo.

[editovat] Periodické řady

Některé přirozeně se vyskytující řady jsou periodické, například desetinný rozklad libovolného racionálního čísla (viz periodický rozvoj). Můžeme proto mluvit o periodě nebo délce periody řady. Jedná se tedy o speciální případ obecné definice.

[editovat] Translační symetrie

Jestliže se k popisu nějakého objektu použije funkce, např. nekonečný obraz může být popsán barvou jako funkcí pozice, odpovídá periodicita této funkce translační symetrii objektu.