Função racional

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Em matemática, uma função racional é uma razão de polinômios. Para uma simples variável x uma típica função racional é, portanto:

P(x)/Q(x)

onde P e Q são polinômios tendo x como indeterminado, e Q não pode ser o polinômio zero. Qualquer polinômio não-zero Q é aceitável; mas a possibilidade que um dado a assinalado para o x poderia fazer.

Q(a) = 0

significa que a função racional, diferente dos polinômios, não possuem sempre uma função domínio de definição obvia. De fato se nos temos

1/(x² + 1),

esta função é definida para qualquer número real x; mas não para número complexos, onde o denominador assume o valor 0 para x = i e x = −i, onde i é raiz quadrada de menos um.

Do ponto de vista matemático, um polinômio é primeiramente uma expressão formal, e somente depois uma função (em um dado domínio). A despeito do nome, o mesmo é igualmente verdadeiro para funções racionais. Na álgebra abstrata uma definição de uma função racional é dada como elemento do campo de frações de um anel polinomial. Por esta definição se sucede que, nos devemos começar com um domínio integral R (por exemplo, um campo). Então

R[X, Y,..., T],

o anel de polinômios em algumas incógnitas X, ..., T, será também um domínio integral; e nos podemos propriamente tomar um campo fracionário. (Em uma maior generalização para aneis comutativos a construção será uma localização de um anel polinomial.)

Funções acionais são usadas em analise numérica para funções de interpolação e aproximação, por exemplo, a aproximação de Padé introduzido por Henri Padé. Aproximações em termos de funções racionais são bem aceitas por sistemas computacionais de álgebra e outros software numérico. Como polinômios, elas podem ser avaliadas diretamente, e ao mesmo tempo elas são ligeiramente mais expressivas do que os polinômios.