Rationale Funktion

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Eine rationale Funktion, ist in der Mathematik eine Funktion, die sich in der Form

$f(x)=\frac{a_z x^z+a_{z-1} x^{z-1}+\cdots +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0} = \frac{P_z(x)}{P_n(x)} \quad ; \quad z, n \in \mathbb{N}_0$ ,

also als Quotient zweier Polynome schreiben lässt.

rot: Graph der gebrochenrationalen Funktion

f

mit $f(x)=\frac{2(x + 2)(x + 1)(x - 1)^2}{(x + 1)(2x - 1)}$ , blau: Polgerade durch die Polstelle bei

x = 0.5

, grün: Asymptotenfunktion

g

mit

g (x) = x 2 + x / 2 - 11 / 4

, stetig behebbare Definitionslücke bei

x = - 1

[Bearbeiten] Einteilung

Ist das Nennerpolynom $P n$ vom Grad 0 , also n = 0 und ist $P n$ nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen Funktion oder von einer Polynomfunktion.
Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
- Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
- Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann über Polynomdivision in eine ganzrationalen Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden (siehe unten).

[Bearbeiten] Asymptotisches Verhalten

Für das Verhalten für x gegen Unendlich sind die Grade $z$ bzw. $n$ des Zähler- bzw. Nenner-Polynoms entscheidend:

Für $x\to\infty$ geht $f (x)$

gegen $\sgn(a_z)\cdot\sgn(b_n)\cdot\infty$ , falls $z > n$ , wobei mit sgn() das Vorzeichen des Summanden mit der größten Potenz jeweils in Zähler und Nenner gemeint sind (für Genaueres über sgn() siehe Signum),
gegen $a z / b n$ , falls $z = n$ (parallel zur x-Achse),
gegen $0$ (x-Achse), falls $z < n$ ,
schräg verlaufende Asymptote bei dem Sonderfall $z = n + 1$ .

[Bearbeiten] Kurvendiskussion

Anhand des Funktionsterms der rationalen Funktion $f={p\over q}:x\mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ lassen sich folgende Aussagen zum Funktionsgraphen machen.

[Bearbeiten] Symmetrie

Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) ist gerade/ungerade, wenn alle Exponenten gerade/ungerade sind. Sind Zählerpolynom $p$ und Nennerpolynom $q$ von einem dieser beiden Typen, so ist auch die rationale Funktion $f$ gerade oder ungerade:

Sind $p$ und $q$ beide gerade oder beide ungerade, so ist $f$ gerade (d.h. symmetrisch zur y-Achse)
Ist $p$ gerade und $q$ ungerade, so ist $f$ ungerade (d.h. punktsymmetrisch zum Ursprung); gleiches gilt, wenn $p$ ungerade und $q$ gerade ist.

In allen anderen Fällen sind Symmetrieeigenschaften von $f$ schwieriger zu entscheiden. Siehe auch Kurvendiskussion.

[Bearbeiten] Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen

Die gebrochenrationale Funktion ist an den Nullstellen des Nennerpolynoms $q$ nicht definiert.

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion werden durch die Nullstellen des Zählerpolynoms $p$ bestimmt.

Ein Spezialfall ergibt sich, wenn eine reelle Zahl $a\in\R$ gleichzeitig Nullstelle des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms ist. Dann sind Zähler- und Nennerpolynom durch den zugehörigen Linearfaktor $x - a$ (eventuell sogar mehrfach) teilbar.

Kommt $x - a$ im Nenner öfter vor als im Zähler, so liegt eine Polstelle vor;
andernfalls hat die rationale Funktion an der Stelle $a$ eine stetig behebbare Definitionslücke

[Bearbeiten] Asymptote

Durch die Polynomdivision von $p$ durch $q$ erhält man $p = g\cdot q + r$ mit Polynomen $g$ und $r$ , wobei der Grad von $r$ kleiner als der von $q$ ist. Das asymptotische Verhalten von

$f = {p\over q} = g + {r\over q}$

ist damit durch die Polynomfunktion $g$ bestimmt (die konkrete Durchführung der Polynomdivision ist nur bei 3. und 4. notwendig):

$z < n$ => x-Achse ist Asymptote: $g (x) = 0$
$z = n$ => waagrechte Asymptote: $g(x) = \frac{a_z}{b_n}$
$z = n + 1$ => schräge Asymptote: $g(x) = mx + c \,; m \ne 0$ (Spezialfall von 4)
$z > n \,; z \ne n +1$ => ganzrationale Näherungsfunktion