Mulţime

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Mulţimea este unul dintre cele mai importante concepte ale matematicii moderne. Deşi teoria mulţimilor a apărut abia la sfârşitul secolului XIX, aceasta este acum omniprezentă în educaţia matematică, încă din şcoala elementară. Acest articol este o scurtă introducere în ceea ce matematicienii numesc teoria "intuitivă" sau "naivă" a mulţimilor; pentru mai multe detalii vedeţi teoria naivă a mulţimilor. Pentru o consideraţie riguroasă, axiomatică, vedeţi teoria axiomatică a mulţimilor.

[modifică] Introducere

În mod neriguros, o mulţime este doar o colecţie bine definită de obiecte, considerate ca un întreg. Obiectele dintr-o mulţime sunt numite elemente. Elementele unei mulţimi pot fi orice: numere, persoane, litere ale alfabetului, alte mulţimi, etc. Prin convenţie mulţimile sunt notate cu majuscule: A, B, C etc.

Două mulţimi A şi B se numesc egale — şi se notează A = B — dacă au aceleaşi elemente.

[modifică] Descrierea mulţimilor

[modifică] Descrierea folosind cuvinte sau liste

Nu toate mulţimile au descrieri precise; ele pot fi doar colecţii arbitrare, fără vrei regulă exprimabilă, care să specifice care elemente fac parte dintr-o multime

Unele mulţimi pot fi descrise în cuvinte, cum ar fi:

A este mulţimea primelor patru numere întregi pozitive.

B este mulţimea culorilor de pe steagul Franţei.

Prin convenţie, o mulţime poate fi definită listând explicit elementele sale între acolade, de exemplu:

C = {4, 2, 1, 3}

D = {roşu, alb, albastru}

De notat că cele două descrieri diferite definesc aceeaşi mulţime. De exemplu, pentru mulţimile definite mai sus, A şi C sunt identice, deoarece ele au exact aceiaşi membri. Notaţia A = C este folosită pentru a exprima această egalitate. Analog, pentr mulţimile definite mai sus, B = D.

Identitatea mulţimilor nu depinde de ordinea în care elementele sunt listate, nici de prezenţa repetiţiilor în listă. De exemplu, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

[modifică] Descrierea folosind notaţii matematice

Pentru mulţimi mari (adică mulţimi care conţin multe elemente), devine foarte incomodă scrierea întregii liste de elemente conţinute. De exemplu, E = {primele o mie de numere pozitive} at fi, ca listă, foarte greoi atât de scris cât şi de citit. Totuşi, matematicienii rareori descriu E în cuvinte ca mai sus, preferând în schimb să folosească scurtături simbolice:

E = {1, 2, 3, ..., 1000}

Se poate folosi o listă abreviată poate fi folosită pentru a descrie o mulţume cum ar fi E, unde elementele pot urma un şablon evident cititorului. Întreaga listă este abreviată folosind simbolul (...). Cânnd se foloseşte această notaţie, trebuie avut grijă să se dea suficiente elemente pentru a face clar şablonul. De exemplu, următoarea mulţime ar putea, în funcţie de context, să reprezinte fie primele şaisprezece numere întregi, fie primele cinci puteri ale lui doi:

X = {1, 2, ..., 16}

Dacă, pe de altă parte, proprietatea caracterizatoare descrie un şablon mai puţin evident, atunci este nerecomandat să se folosească o listă abreviată, care doar ar deruta cititorul. De exemplu, citind

F = {–4, –3, 0, ..., 357}

nu este clar deloc că de fapt

F = {primele douăzeci de numere mai mici cu patru decât un pătrat perfect}.

În asemenea condiţii, matematicienii descriu proprietatea caracteristică a mulţimii folosind o notaţie matematică. De exemplu:

F = {

n 2

– 4 : n număr întreg şi 0 ≤ n ≤ 19}

În această descriere, două puncte (:) înseamnă astfel încât, iar matematicianul interpretează această descriere ca

F este mulţimea numerelor de forma

n 2

– 4, astfel încât n este un număr întreg între 0 şi 19 inclusiv. (Uneori se foloseşte bara verticală | în loc de două puncte.)

O listă explicită a conţinutului lui F se poate găsi evaluând expresia $n 2$ – 4 pentru fiecare valoare a lui n de la 0 la 19.

[modifică] Apartenenţa la mulţime

Dacă un obiect este sau nu element al unei anumite mulţimi acest lucru este simbolizat de $\in$ , respectiv $\notin$ . Astfel, de exemplu, considerând mulţimile definite mai sus:

$4 \in A$ şi $285 \in F$ (pentru că 285 = 17² − 4); dar
$9 \notin F$ şi $\mathrm{verde}\ \notin B$ .

[modifică] Cardinalitatea unei mulţimi

Fiecare mulţime descrisă mai sus are un număr bine definit de membri; de exemplu, mulţimea A are patru membri, pe când mulţimea B are trei membri.

O mulţime poate avea şi zero membri. O astfel de mulţime este denumită mulţimea vidă (sau mulţimea nulă) şi este reprezentată de simbolul ø. De exemplu, mulţimea A a tuturor pătratelor cu trei laturi are zero membri, şi astfel A = ø. Ca şi numărul zero, deşi aparent trivială, mulţimea vidă este foarte importantă în matematică.

O mulţime poate avea şi un număr infinit de membri; de exemplu, mulţimea numerelor naturale este infinită.

[modifică] Submulţimi

Dacă fiecare membru al mulţimii este şi membru al mulţimii B, atunci A se spune că este submulţime a lui B, şi se scrie că $A \subseteq B$ , citit şi A este inclus în B. Echivalent, putem scrie $B \supseteq A$ , citit B include A, sau B conţine A. Relaţia dintre mulţimi stabilită de $\subseteq$ se numeşte incluziune sau conţinere.

Dacă A este o submulţime a lui B, dar nu este egală cu B, atunci A se numeşte submulţime proprie a lui B, ceea ce se scrie $A \subset B$ sau $B \supset A$ . Totuşi, în literatură aceste simboluri se cutesc la fel ca $\subseteq$ şi $\supseteq$ , deci se preferă adesea să se folosească simbolurile mai explicite $\subsetneq$ şi $\supsetneq$ şi pentru incluziunea strictă.

A este o submulţime a lui B

Exemple:

Mulţimea tuturor femeilor este o submulţime a mulţimii tuturor oamenilor.
$\{1,3\} \subset \{1,2,3,4\}$
$\{1, 2, 3, 4\} \subseteq \{1,2,3,4\}$

Mulţimea vidă este o submulţime a tuturor mulţimilor şi orice mulţime este o submulţime a sa însaşi:

$\emptyset \subseteq A$
$A \subseteq A$

[modifică] Mulţimi speciale

Există unele mulţimi care au atât de mare importanţă matematică şi sunt referite atât de des încât ele au obţinut nume şi notaţii simbolice speciale pentru a fi identificate. Una din acestea este mulţimea vidă. Alte mulţimi speciale de numere sunt:

$\mathbb{N}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor naturale. Adică $\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, ...}, sau uneori $\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, 3, ...}.
$\mathbb{Z}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor întregi (pozitive, negative sau zero). Deci $\mathbb{Z}$ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
$\mathbb{Q}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor raţionale (adică mulţimea tuturor fracţiilor proprii şi improprii). Astfel, $\mathbb{Q}$ = { $\begin{matrix} \frac{a}{b} \end{matrix}$ : a,b $\in \mathbb{Z}$ şi b ≠ 0}. De exemplu, $\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix} \in \mathbb{Q}$ şi $\begin{matrix}\frac{11}{6} \end{matrix} \in \mathbb{Q}$ . Toţi întregii sunt în această mulţime deoarece fiecare întreg a poate fi exprimat ca fracţia $\begin{matrix} \frac{a}{1} \end{matrix}$ .
$\mathbb{R}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor reale. Aceasta include toate numerele raţionale, împreună cu toate numerele iraţionale (adică numere care nu pot fi scrise ca fracţii, cum ar fi $π,$ $e,$ şi √2).
$\mathbb{C}$ este mulţimea tuturor numerelor complexe.

Toate aceste mulţimi au cardinalitate infinită, şi mai mult, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ .

[modifică] Reuniunea

Există mai multe moduri de a construi o mulţime nouă din alta deja existentă. Două mulţimi pot fi "adunate". Reuniunea lui A cu B, notată A U B, este muţimea tuturor entităţilor care sunt membre fie lui A, fie lui B.

Reuniunea lui A şi B

Exemple:

{1, 2} U {roşu, alb} = {1, 2, roşu, alb}
{1, 2, verde} U {roşu, alb, verde} = {1, 2, roşu, alb, verde}
{1, 2} U {1, 2} = {1, 2}

Unele proprietăţi de bază ale reuniunii:

A U B = B U A
A is a subset of A U B
A U A = A
A U ø = A

[modifică] Intersecţia

O nouă mulţime poate fi construită şi prin determinarea membrilor pe care alte două mulţimi îi au în comun. Intersecţia dintre A şi B, notată A ∩ B, este mulţimea tuturor entităţilor care aparţin atât mulţimii A cât şi mulţimii B. Dacă A ∩ B = ø, atunci A şi B se numesc mulţimi disjuncte.

Intersecţia lui A şi B

Exemple:

{1, 2} ∩ {roşu, alb} = ø
{1, 2, green} ∩ {roşu, alb, verde} = {verde}
{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Proprietăţi de bază ale intersecţiilor:

A ∩ B = B ∩ A
A ∩ B este o submulţime a lui A
A ∩ A = A
A ∩ ø = ø

[modifică] Complementarea

Două mulţimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit şi diferenţa de mulţimi dintre B şi A), notată B − A, (sau B \ A) este mulţimea tuturor elementelor care fac parte din B, dar nu fac parte şi din A. De notat că nu este greşit să se "scoată" dintr-o mulţime elemente care nu îi aparţin, cum ar fi eliminarea elementului verde din mulţimea {1,2,3}; această operaţie nu are nici un efect.

În anumite cazuri, toate mulţimile despre care se discută sunt considerate submulţimi ale unei mulţimi universale U. În astfel de cazuri, U − A, se numeşte complementul absolut sau pur şi simplu complementul lui A, şi este notat cu A′.

Complementul relativ
al lui A faţă de B

Imagine:Venn A complement.png

Complementul lui A faţă de U

Exemple:

{1, 2} − {roşu, alb} = {1, 2}
{1, 2, verde} − {roşu, alb, verde} = {1, 2}
{1, 2} − {1, 2} = ø
Dacă U este mulţimea numerelor întregi, E este mulţimea întregilor pari, şi O este mulţimea întregilor impari, atunci complementul lui E faţă de U este O, sau echivalent, E′ = O.

Proprietăţi de bază ale complementelor:

A U A′ = U
A ∩ A′ = ø
(A′ )′ = A
A − A = ø
A − B = A ∩ B′

[modifică] Bibliografie

en Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926
en Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294

Adus de la "http://ro.wikipedia.org../../../m/u/l/Mul%C5%A3ime.html"

Categorie: Teoria mulţimilor

Mulţime

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cuprins

[modifică] Introducere

[modifică] Descrierea mulţimilor

[modifică] Descrierea folosind cuvinte sau liste

[modifică] Descrierea folosind notaţii matematice

[modifică] Apartenenţa la mulţime

[modifică] Cardinalitatea unei mulţimi

[modifică] Submulţimi

[modifică] Mulţimi speciale

[modifică] Reuniunea

[modifică] Intersecţia

[modifică] Complementarea

[modifică] Bibliografie

Views

Navigare

Caută

În alte limbi