Бинарная операция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Бина́рной опера́цией или двуме́стной опера́цией на множестве $M$ называется отображение $M\times M \to M$ , которое каждой упорядоченной паре элементов (a; b) из множества $M$ , называемых операндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества, называемый результатом. Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции « $\cdot$ » результат её применения к двум элементам $x\,\!$ и $y\,\!$ записывается в виде $x\cdot y$ .

[править] Типы бинарных операций

Бинарная операция « $\cdot$ » называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, т. е. $x\cdot y = y\cdot x$ для любых $x,y\in M$ .
Бинарная операция « $\cdot$ » называется ассоциативной, если $(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z)$ для любых $x,y,z\in M$ .

Для ассоциативной операции « $\cdot$ » результат вычисления $x_1\cdot x_2 \cdot\dots\cdot x_n$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_1\cdot x_2 \cdot\dots\cdot x_n$ при $n>2\,\!$ однозначно не определено. Иногда рассматривают более широкий класс операций:

Бинарная операция « $\cdot$ » называется альтернативной если $(x\cdot x)\cdot y=x\cdot(x\cdot y)$ и $y\cdot(x\cdot x)=(y\cdot x)\cdot x$ для любых $x,y\in M$ .

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание чисел. Причём сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Если абстрактную бинарную операцию называеют умножением, то её результат для элементов (a; b) называют их произведением и обозначают ab или a · b, $a\times b$ , $[a, b]$ и т.д. в зависимости от типа бинарной операции. В этом случае нейтральный элемент e ∈ M, т.е. элемент удовлетворяющий равенствам

ea = ae = a

для любого a ∈ M, называется единичным элементом относительно выбранной бинарной операции.

Если бинарную операцию называют сложением, образ пары элементов (a; b) называют суммой и обозначают a + b. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. В этом случае нейтральный элемент обычно обозначают символом 0, называют нулевым элементом и пишут a + 0 = 0 + a = a.)