פעולה בינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, פעולה בינארית (או אופרטור בינארי) היא פעולה המתבצעת בין שני איברים בקבוצה (לא בהכרח שונים זה מזה), ותוצאתה היא איבר בקבוצה. בניסוח פורמלי יותר: פעולה בינארית היא פונקציה מזוגות סדורים של אברי הקבוצה, אל הקבוצה, ובסימון מתמטי, עבור הקבוצה $\ S$ פעולה בינארית היא פונקציה $\ f$ מהמכפלה הקרטזית של הקבוצה בעצמה, אל הקבוצה: $\ f: S\times S \to S$ .

חיבור, חיסור, כפל וחילוק הן פעולות בינאריות ידועות. גם כפל מטריצות הוא פעולה בינארית. שרשור מחרוזות, כלומר פעולה שלוקחת שתי מחרוזות של תוים ומצמידה אותן זו לזו, היא דוגמה נוספת לפעולה בינארית.

פעולות בינאריות הן הבסיס למבנים אלגבריים הנחקרים במסגרת האלגברה המופשטת. מבנים העוסקים בפעולות בינאריות הם חבורה, חוג, שדה ועוד.

פעולה בינארית מסומנת פעמים רבות בין שני האיברים שעליהם היא פועלת, למשל, אופרטור החיבור $\ +$ נכתב $\ a+b$ , ולא בכתיב הפונקציונלי $\ +(a,b)$ .

פעולות בינאריות הן פעמים רבות קומוטטיביות או אסוציאטיביות. פעמים רבות יש בהן איבר אדיש ואיבר הופכי. נדגים מושגים אלה באמצעות פעולה שנסמנה $\ \star$ הפועלת על קבוצה $\ S$

פעולה המקיימת $x \star y = y\star x$ לכל $\ x,y\in S$ נקראת פעולה חילופית (קומוטטיבית).
פעולה המקיימת $(x \star y) \star z = x \star (y \star z)$ לכל $\ x,y,z\in S$ נקראת פעולה אסוציאטיבית (כלומר מקיימת את חוק הקיבוץ).
אם קיים איבר אשר מקיים לכל את התנאי אז הוא נקרא איבר אדיש (או נייטרלי) כלפי הפעולה.
- אם הפעולה היא מכפלה, אז האיבר האדיש יקרא איבר יחידה, ויסומן כ־ $\ 1$ כ $\ e_0$ או כ־ $\ I$ לפי ההקשר.
- אם הפעולה היא חיבור, אז האיבר האדיש יקרא אפס, ויסומן כ $\ 0$ .
אם קיים איבר אדיש לפעולה, אז איבר ההופכי לאיבר הוא איבר שמקיים .
- אם הפעולה היא כפל, אז האיבר ההופכי מסומן כ־ $\ x^{-1}$ .
- אם הפעולה היא חיבור, אז האיבר ההופכי (שנקרא גם איבר נגדי) מסומן כ־ $\ -x$ .