Выборочная дисперсия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Выборочная дисперсия в математической статистике - это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую или исправленную выборочные дисперсии.

Содержание

1 Определения
2 Замечание
3 Свойства выборочных дисперсий
4 См. также

[править] Определения

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ - выборка из распределения вероятности. Тогда

Выборочная дисперсия - это случайная величина

$S^2_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2$ ,

где символ $\bar{X}$ обозначает выборочное среднее.

Несмещённая (исправленная) дисперсия - это случайная величина

$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2$ .

[править] Замечание

Очевидно,

$S^2 = \frac{n}{n-1} S^2_n$ .

[править] Свойства выборочных дисперсий

Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть $\hat{F}(x)$ - выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\omega \in \Omega$ функция $\hat{F}(\omega,x)$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна $S^2_n(\omega)$ .