Гиперсфера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гиперсфера — (n-1)-мерное многообразие в n-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в одной точке — центре гиперсферы.

Расстояние (имея в виду метрику пространства) между центром и каждой точкой гиперсферы одинаково для всех точек гиперсферы, и называется ее радиусом.

[править] Обобщение на n-мерное пространство

Проекция трехмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырехмерного пространства

Вообще говоря, гиперсфера является одной из гиперповерхностей, которая имеет свои «аналоги» в пространстве любого измерения.

В евклидовом пространстве, исходя из его метрики, гиперсфера радиуса $R$ с центром в точке $a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}$ задается как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
$(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2$

При $n = 1$ гиперсфера выражается в две точки, равноудаленные от центра; при $n = 2$ она представляет собой окружность; при $n = 3$ гиперсфера является сферой.

Если учесть, что гиперсфера имеет два полюса, которые расположены так, что через них можно провести прямую, проходящую и через центр гиперсферы, то можно заметить, что окружность порождена перемещением двух точек (гиперсферы одномерного пространства) от одного полюса к другому, а сфера, в свою очередь, порождена подобным же перемещением окружности (гиперсферы двухмерного пространства).

Таким образом, гиперсфера n-мерного пространства порождена перемещением гиперсферы (n-1)-мерного пространства от одного своего полюса к другому. А радиус «перемещаемой» гиперсферы изменяется от ноля до радиуса «порождаемой» гиперсферы и обратно до ноля.

[править] Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
$x = \rho \cdot \cos \alpha$
$y = \rho \cdot \sin \alpha$ ,

а сферические координаты так:
$x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta$
$y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta$
$z = \rho \cdot \cos \beta$

Из этого видно, что гиперсферические координаты могут быть представлены так:
$x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \dots \cdot \sin \omega$
$y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \dots \cdot \sin \omega$
$z = \rho \cdot \cos \beta \cdot \sin \gamma \cdot \dots \cdot \sin \omega$
$w = \rho \cdot \cos \gamma \cdot \cdots \cdot \sin \omega$
$\dots$
$t = \rho \cdot \cos \omega$