Диофантово уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.

Диофа́нтово уравнение или уравнение в целых числах — это уравнение с целыми коэффициентами и неизвестными, которые могут принимать только целые значения.

[править] Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения: $ax+by+\ldots+cz=d$ . В литературе под диофантовыми уравнениями понимаются также уравнения более частного вида (с двумя неизвестными):

$ax+by=c\qquad(1)$

которые достаточно хорошо изучены.

Рассмотрим такие уравнения более подробно. Если $(a,b) \nmid c$ (то есть $c$ не делится нацело на НОД $(a,\;b)$ ), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, в этом случае $(a,\;b) \ne 1$ , но тогда число, стоящее слева в (1) делится на $(a,\;b)$ , а стоящее справа — нет. Если в уравнении $a x + b y = 1$ $(a,\;b)=1$ , то оно разрешимо в целых числах.

Пусть $(x_0,\;y_0)$ — решение уравнения $a x + b y = c$ . Тогда все его решения находятся по следующим формулам:

$x = x 0 - b n$ , $y = y 0 + a n$ , $n \in\mathbb Z$ .

При $(a,\;b,\;\ldots,\;c)=1$ , корни общего уравнения находятся методом подборки:

$a(x_0)+b(y_0)+\ldots+c(z_0)=1\qquad(2)$

далее домножаем (2) на $d$ и получаем искомые корни $x_0d,\;y_0d,\;\ldots,\;z_0d$ .

[править] Некоторые другие уравнения

xⁿ + yⁿ = zⁿ:
- При $n = 2$ решениями этого уравнения являются пифагоровы тройки
- Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет положительных целых решений при $n > 2$ .
$x 2 - n y 2 = 1$ — уравнение Пелля
$\sum_{i=0}^n a_i x^i y^{n-i} = c$ при $n\ge 3$ и $c\ne 0$ — уравнения Туэ

[править] Неразрешимость в общем виде

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900, состоит в нахождении алгоритма решения произвольных диофантовых уравнений. В 1970 Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.