Кривая второго порядка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

$a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0\,\!$

в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11},~a_{12},~a_{22}$ отличен от нуля. Иначе говоря $a_{11}^2+a_{12}^2+a_{22}^2\ne0$

Содержание

1 История
2 Инварианты
3 Классификация кривых второго порядка
- 3.1 Невырожденные кривые
- 3.2 Вырожденные кривые
4 См. также
5 Ссылки

[править] История

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и провращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получиться конусная поверхность. Если же сечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность (пирибола), парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижению второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Также, благодаря своим геометрическим свойствам, кривые второго порядка нашли широкое применение в современной технике, например, в создании спутниковых тарелок и прожекторов.

[править] Инварианты

Вид кривой зависит от 4 инвариантов:

инварианты относительно поворота и сдвига системы координат
- $\Delta\,\!=det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}$
- $D\,\!=det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}$
- $I\,\!=tr\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}$
инвариант относительно поворота системы координат
- $B\,\!=det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}$

[править] Классификация кривых второго порядка

[править] Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется «невырожденной», если $\Delta\,\!\ne0$ . Могут возникать следующие варианты:

Эллипс — при условии $D>0\,\!$ и $I\Delta<0\,\!$ .
Окружность (частный случай эллипса) — при условии $a_{11}=a_{22}\,\!$ , $a_{12}=0\,\!$ .
Мнимый Эллипс (пустое множество) — при условии $D=0\,\!$ и $I\Delta>0\,\!$ .
Гипербола — при условии $D<0\,\!$ .
Парабола — при условии $D=0\,\!$ .