Область целостности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности) — понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором 0≠1 и произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Условие 0≠1 исключает из рассмотрения тривиальное кольцо {0}.

Эквивалентное определение: область целостности — это ассоциативное коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Содержание

1 Примеры
2 Делимость, простые и неприводимые элементы
3 Свойства
4 Вариации и обобщения

[править] Примеры

Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел $\mathbb Z$ .
Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо $\mathbb{Z}[x]$ многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо $\mathbb{R}[x,y]$ многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.
Множество действительных чисел вида $a+b\sqrt{2}$ есть подкольцо поля $\mathbb{R}$ , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида $a + b i$ , где $a$ и $b$ целые (множество Гауссовых целых).
Пусть $U$ — связное открытое подмножество комплексной плоскости $\mathbb{C}$ . Тогда кольцо $H (U)$ всех голоморфных функций $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
Если $K$ — коммутативное кольцо, а $I$ — идеал в $K$ , то фактор-кольцо $K / I$ целостное тогда и только тогда, когда $I$ — простой идеал.

[править] Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть $a$ и $b$ — элементы целостного кольца $K$ . Говорят, что « $a$ делит $b$ » или « $a$ — делитель $b$ » (и пишут $a\mid b$ ), если и только если существует элемент $x\in K$ такой, что $a x = b$ .

Делимость транзитивна: если $a$ делит $b$ и $b$ делит $c$ , то $a$ делит $c$ . Если $a$ делит $b$ и $c$ , то $a$ делит также их сумму $b + c$ и разность $b - c$ .

Для кольца $K$ с единицей элементы $a\in K$ , которые делят 1, называются делителями единицы, а иногда и просто единицами. Они и только они, обратимы в $K$ . Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда $a = b * e$ , где e — обратимый элемент.

Необратимый элемент $q$ целостного кольца называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух необратимых элементов.

Ненулевой необратимый элемент $p$ называется простым, если из того, что $p\mid ab$ , следует $p\mid a$ или $p\mid b$ . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце $\mathbb{Z}$ , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если $p$ — простой элемент поля, то порождаемый им главный идеал $(p)$ будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

[править] Свойства

Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
- Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
Если $A$ ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над $A$ также будут областями целостности.
Если $A$ ― коммутативное кольцо с единицей и $I$ ― некоторый идеал в $A$ , то кольцо $A / I$ является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал $I$ прост.
Кольцо будет областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр есть неприводимое топологическое пространство.

[править] Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Категория: Теория колец