תחום שלמות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה מופשטת, תחום שלמות הוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס. (כלומר: אם $\ ab=0$ , אז בהכרח $\ a=0$ או $\ b=0$ ) בין הדוגמאות החשובות אפשר למצוא כל חוג שאבריו הם מספרים ממשיים, ומכאן חשיבותה של המשפחה הזו בתורת המספרים האלגברית.

תוכן עניינים

1 מחלקי אפס
2 דוגמאות
- 2.1 דוגמאות לחוגים שאינם תחומי שלמות
3 תכונות בסיסיות של תחומי שלמות
- 3.1 הפיכות ומחלקי אפס
- 3.2 צמצום
4 הקשר בין תחומי שלמות לשדות
5 חלוקה בתחומי שלמות
6 תחומי שלמות בעלי תכונות נוספות
7 משפטי מבנה
8 הכללות
9 ראו גם

[עריכה] מחלקי אפס

ערך מורחב – מחלק אפס

אחת השאלות הראשונות שאפשר לשאול לגבי חוג כללי, היא האם החוג הוא למעשה חלק משדה. אם החוג הוא באמת חלק משדה, אז חלק מהתכונות הטובות של השדה עוברות אליו בירושה. לדוגמה, אולי לא כל איבר בחוג יהיה הפיך אך ניתן לצמצם שיוויונות:

$\ ac =bc \ \Rightarrow \ a=b$

תנאי הכרחי בשביל שחוג יהיה תת-חוג של שדה היא שהכפל בו יהיה קומוטטיבי, אך זה לא תנאי מספיק - קיימים חוגים קומוטטיביים שלא ניתן לשכן בשדה. לדוגמה בחוג המספרים השלמים מודולו 4, $\mathbb{Z}_4$ , שהוא חוג קומוטטיבי, מתקיים השיוויון $\ 2 \cdot 3 = 2 \cdot 1 \mbox{ (mod 4)}$ , למרות שלא ניתן לצמצם את המשוואה; $\ 3 \ne 1 \mbox{ (mod 4)}$ .

תנאי הכרחי נוסף, הוא שלא יהיו בחוג מחלקי אפס- שני איברים שונים מאפס שמכפלתם מתאפסת. איברים כאלו הם לא הפיכים באופן בסיסי, כלומר בכל הרחבה של החוג הם בהכרח ישארו לא הפיכים (הסיבה מפורטת בהמשך). תחום שלמות הוא חוג שמקיים את שני התנאים ההכרחיים האלו (קומטטיביות ואי קיום מחלקי אפס), באופן מפתיע- יחד, תנאים אלו הם גם מספיקים, כלומר ניתן להרחיב כל תחום שלמות לשדה.

[עריכה] דוגמאות

כל שדה הוא תחום שלמות, כי הכפל בו קומטטיבי וכל האיברים הפיכים- ובפרט הם אינם מחלקי אפס. הכיוון ההפוך לא נכון- לא כל תחום שלמות הוא שדה. לדוגמה חוג המספרים השלמים הוא תחום שלמות, כי אין בו מחלקי אפס והכפל בו הוא קומוטטיבי, אבל למשל למספר 2 אין הפכי בחוג השלמים. דוגמה חשובה נוספת היא חוג הפולינומים עם מקדמים משדה $\ F$ , אותו מסמנים ב- $\ F[x]$ . זהו תחום שלמות שאינו שדה.

[עריכה] דוגמאות לחוגים שאינם תחומי שלמות

חוג הקוורטריונים, שהוא חוג עם חילוק, אינו תחום שלמות למרות שיש בו יחידה ואין בו מחלקי אפס, כיוון שהכפל בו לא קומוטטיבי. החוג $\ 2\mathbb{Z} = \left\{ 2n : n \in \mathbb{Z} \right\}$ הוא לא תחום שלמות, למרות שהוא חוג קומטטיבי בלי מחלקי אפס, כיוון שאין בו יחידה ביחס לכפל.

[עריכה] תכונות בסיסיות של תחומי שלמות

[עריכה] הפיכות ומחלקי אפס

כמו שציינו, באופן כללי איבר הפיך בחוג כלשהו לא יכול להיות מחלק אפס. הסיבה היא שאם האיבר $\ a$ הפיך, ומתקיים $\ ab=0$ , אז אפשר לכפול את המשוואה הזו ב $\ a^{-1}$ משמאל ולקבל ש־ $\ b=0$ .
באופן כללי יותר, אם $\ D \subseteq R$ הם חוגים ו- $\ a\in D$ הוא איבר שיש לו הפכי ימני/שמאלי ב- $\ R$ , אז $\ a$ אינו יכול להיות מחלק אפס ימני/שמאלי (בהתאם) ב- $\ D$ , מאותה סיבה.

[עריכה] צמצום

בתחום שלמות ניתן לצמצם שיוויונות מימין ומשמאל:

$\ c \ne 0 , ac = bc \ \Rightarrow \ a=b$

$\ c \ne 0 , ca = cb \ \Rightarrow \ a=b$

ניתן להוכיח את התכונה הזו על ידי העברת אגפים ושימוש בתכונת הדיסטריבוטיביות של החיבור עם הכפל:

$\ ac - bc =(a-b)c = 0$

כלומר המכפלה של $\ a-b$ ב- $\ c$ מתאפסת. היות ו- $\ c$ שונה מאפס, ובתחום השלמות אין מחלקי אפס- בהכרח מתקיים

$\ a-b =0$ כלומר $\ a= b$

[עריכה] הקשר בין תחומי שלמות לשדות

מכיוון שכל האיברים בשדה הם הפיכים, הם לא מחלקי אפס ולכן כל תת-חוג של שדה שמכיל את היחידה הכפלית מהווה תחום שלמות. גם ההיפך נכון: כל תחום שלמות מהווה תת-חוג של שדה, הנקרא "שדה השברים" של התחום. שדה השברים כולל את כל המנות $\ \frac{a}{b}$ של אברים בחוג שבהן המכנה אינו אפס. למשל, שדה השברים של $\ \mathbb{Z}$ הוא שדה המספרים הרציונליים $\ \mathbb{Q}$ , בעוד ששדה השברים של חוג הפולינומים הוא שדה הפונקציות הרציונליות $\ F(x) = \{\frac{f}{g}: f,g\in F[x],\, g\neq 0\}$ . הבניה של שדה השברים מתוך התחום הנתון היא דוגמה למיקום.

בתחום שלמות, אוסף האברים שאינם אפס סגור לכפל, ולכן מהווה מונואיד עם צמצום: אם $\ ab=ac$ אז $\ b=c$ . כל מונואיד סופי עם צמצום הוא חבורה, ולכן תחום שלמות סופי הוא שדה.

[עריכה] חלוקה בתחומי שלמות

עבור תחום שלמות קבוע D, אומרים שאיבר a מחלק את האיבר b אם קיים איבר c כך ש- $\ b=ac$ (זוהי הכללה של ההגדרה הרגילה במספרים שלמים). כל איבר מחלק את 0, ו-1 מחלק כל איבר. איבר המחלק את 1 נקרא איבר הפיך (למשל: בחוג השלמים האיברים ההפיכים הם $\ 1,-1$ . בשדה, כל האיברים הם הפיכים פרט לאפס). איברים המחלקים זה את זה נקראים ידידים.

איבר של החוג נקרא אי-פריק, אם לא ניתן לכתוב אותו בצורה $\ ab$ כאשר a ו- b אינם הפיכים. ישנו סוג מיוחד של אברים אי-פריקים, הנקראים ראשוניים. איבר ראשוני הוא איבר שאינו יכול לחלק מכפלה $\ ab$ בחוג, מבלי לחלק לפחות את אחד הגורמים שלה. ראשוני מוכרח להיות אי-פריק (אם אפשר לפרק את הראשוני p בצורה $\ p=ab$ אז p מוכרח לחלק את אחד הגורמים, למשל את a, ואז יוצא ש-b הפיך), אבל ישנם איברים אי-פריקים שאינם ראשוניים (ראה דוגמאות בהמשך). שתי ההגדרות מכלילות את ההגדרה הרגילה למספרים ראשוניים (כלומר: בחוג המספרים השלמים, איבר הוא ראשוני אם ורק אם הוא אי-פריק, והמספרים בעלי תכונה זו הם המספרים הראשוניים הרגילים (וידידיהם)).

דוגמה: בתחום-השלמות $\ R=\Z[\sqrt{-6}] = \{a+b\sqrt{-6} : a,b\in \Z\}$ , האיבר $\ 2-\sqrt{-6}$ אי-פריק, אבל אינו ראשוני (הוא מחלק את 10 אבל לא את הגורמים 2 או 5).

[עריכה] תחומי שלמות בעלי תכונות נוספות

התכונות של איברים אי-פריקים וראשוניים באות לידי ביטוי כשבוחנים את תהליך הפירוק לגורמים של איבר נתון a. אם a אי-פריק, סיימנו לפרק אותו; אחרת, אפשר לכתוב את a כמכפלה של איברים אחרים, ולהמשיך לפרק כל אחד מהם. בחוגים מסוימים (בעיקר חוגים נותריים) מובטח שהתהליך יעצר, בדיוק כפי שהתהליך של פירוק מספר שלם לגורמיו חייב להעצר. בסופו של פירוק כזה כתבנו את a כמכפלה של איברים אי-פריקים. לרוע המזל, (ולא כמו במספרים השלמים), פירוק כזה אינו חייב להיות יחיד. (דוגמה: המספרים $\ 2,3,\sqrt{-6}$ בחוג $\ R$ שהוגדר לעיל הם כולם אי-פריקים, והנה $6 = 2 \cdot 3 = -1 \cdot \sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6}$ , שני פירוקים שונים לאותו מספר).

מתברר שאם הגורמים האי-פריקים בפירוק הם כולם ראשוניים, אז אין פירוקים אחרים (פרט לזה שאפשר להחליף גורם בידיד שלו, ולערבב את הגורמים ביניהם). תחום שלמות שבו כל איבר ניתן לפירוק כמכפלה של אי-פריקים, וזה ניתן להעשות באופן יחיד, נקרא תחום פריקות יחידה. בחוג כזה כל איבר אי-פריק הוא גם ראשוני.

ישנו תנאי המבטיח פריקות יחידה: תחום שלמות $\ D$ שבו כל אידאל הוא אידאל ראשי (כלומר מהצורה $Da = \{xa : x\in D\}$ ), נקרא תחום ראשי (או: תחום אידאלים ראשיים). כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההיפך אינו נכון (דוגמה: חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה שאינו ראשי).

כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי, וכל תחום ראשי הוא חוג דדקינד. כל חוג דדקינד הוא תחום שלמות נותרי.

[עריכה] משפטי מבנה

חוג חילופי הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. תחום שלמות פשוט הוא שדה. תחום שלמות שאינו שדה לא יכול להיות חוג ארטיני.

מעל תחום ראשי, כל מודול (מבנה אלגברי) נוצר סופית הוא מכפלה ישרה של מודולים ציקליים. זוהי הכללה של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, ושל הפירוק של מטריצות לבלוקי ז'ורדן.

[עריכה] הכללות

חוג שאין בו מחלקי אפס, אבל הוא אינו בהכרח חילופי, נקרא תחום. הדוגמה הטיפוסית כאן היא תת-חוגים של חוגים עם חילוק, אבל יש דוגמאות לתחומים שאינם כאלה (הראשונה ניתנה על-ידי Malc'ev). בתחום אין אידאלים מינימליים, ולכן תחום ארטיני מוכרח להיות חוג עם חילוק.

חוג בעל התכונה החלשה יותר " $\ ,a^2\neq 0$ לכל $\ a\neq 0$ " נקרא חוג מצומצם; כל חוג מצומצם הוא מכפלה ישרה של תחומים.