Kokonaisalue

Wikipedia

Rengasta $R$ kutsutaan kokonaisalueeksi, jos $R$ on kommutatiivinen eikä $R$ :ssä ole nollanjakajia. Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat $\mathbb Z_m$ , missä m on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden arkkityyppinä. Muun muassa kokonaisalueen n-asteisella polynomilla on korkeintaan n juurta ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki $ab = ac \Rightarrow b = c$ .

[muokkaa] Karakteristika

Alkion $a$ monikerta $na=a+a+ \cdots +a$ , missä yhteenalskettavia on n kappaletta. Jos kokonaisalueen D alkion a monikerta $n a = 0$ jollakin kokonaisluvulla n, kun n ja a ovat nollasta poikkeavia, niin jokaisella D:n alkiolla b $n b = 0$ , mikä nähdään seuraavasti: $na = a + \cdots + a = a \cdot 1 + \cdots + a \cdot 1 = a \cdot (1 + \cdots + 1) = a \cdot (n1)$ , joten jos $a \neq 0$ , niin koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, täytyy olla $n 1 = 0$ . Kertomalla tämä b:llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön $n b = 0$ .

Pienintä edellä mainitun kaltaista lukua n sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char(D) = n. Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char(D) = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku, mikä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char(D) = n, $n \neq 0$ . $n = n 1 n 2$ . Tällöin $n 1 = (n 1 1)(n 2 1)$ ja siis nollanjakajien puuttuessa $n 1 1 = 0$ tai $n 2 1 = 0$ . Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan $n 1 1 = 0$ . Luku n on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli $n 1 = n$ . Siispä luvulla n ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.

Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden char(D) = 0 (äärettömien) ja char(D) > 0 (äärettömien tai äärellisten). Ero tulee esimerkiksi näkyviin kuntalaajennusten yhteydessä.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä.
Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../k/o/k/Kokonaisalue.html

Luokat: Matematiikkatyngät | Matematiikka

Kokonaisalue

Wikipedia

[muokkaa] Karakteristika

Views

Valikko

Haku

Muilla kielillä