Остаточное событие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ост́аточное собы́тие в теории вероятностей - это случайное событие, определяемое лишь удалёнными членами выделенной последовательности случайных величин.

Содержание

1 Определение
2 Замечание
3 Примеры
4 См. также

[править] Определение

Пусть $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ последовательность случайных величин, определённых на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ . Пусть $\mathcal{F}_n$ суть σ-алгебра, порождённая случайной величиной $X n$ . Тогда σ-алгебра

$\mathcal{F}_{\infty} = \sigma \left( \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n \ge m} \mathcal{F}_n \right)$

называется остаточной σ-алгеброй последовательности ${X n}$ .

Событие $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ называется остаточным событием.

[править] Замечание

Если случайные величины ${X n}$ совместно независимы, то для любого фиксированного $n \in \mathbb{N}$ , остаточная σ-алгебра $\mathcal{F}_{\infty}$ независима от $\mathcal{F}_n$ . Таким образом, остаточные события не зависят от начальных членов последовательности ${X n}$ .

[править] Примеры

Событие, состоящее в том, что фиксированная последовательность случайных величин сходится, является остаточным, ибо сходимость последовательности определяется поведением её хвоста.
Событие, состоящее в том, что фиксированный ряд случайных величин сходится к определённой сумме, не является остаточным, ибо значение суммы ряда зависит от значений каждого члена.