Рекуррентная формула

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Рекурентная формула — формула вида $a_n=f(n,\, a_{n-1},\, a_{n-2},\, \ldots,\, a_{n-p} )$ , $n\ge p+1$ , выражающая каждый член последовательности $a n$ ( $n\in \mathbb N$ ) через $\,p$ предыдущих членов.

Общая проблематика рекуррентных вычислений является предметом теории рекурсивных функций.

[править] Примеры использования рекуррентных формул

Вычисление факториала натурального числа:

$\,n!=(n-1)!\cdot n$ , причём $\,1!=1$ .

Вычисление чисел Фибоначчи задаётся формулами: $\,a_0 = 0$ ,

$\,a_1 = 1$ , $\,a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}$ ( $\,n > 0$ ).

Вычисление интеграла вида $I_n=\int\sin ^n x\,dx$ :

$I_n=\frac{-\cos x\cdot \sin^{n-1} x}{n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ .

Решение дифференциального уравнения Бесселя

$\,y'' +(1/x)y' +(1-\nu^2/x^2)y=0$ может быть записано в виде степенного ряда: $y=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n x^{2n+\nu}$ . Чтобы определить коэффициенты $\,a_n$ , достаточно установить, что $\,4n(n+\nu)a_n +a_{n-2}=0$ , $n\ge 1$ . После чего сразу получается известный результат: $a_n =\frac{(-1)^n a_0}{2^{2^n}n! (1+\nu) (2+\nu ) \cdots (n+\nu)}$ .