Релятивистская механика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Содержание

1 Общие принципы
2 Второй закон Ньютона в релятивистской механике
3 Лагранжиан свободной частицы в релятивистской механике
4 См. также
5 Литература

[править] Общие принципы

Релятивистская механика основана на теории относительности, в которой, в отличие от классической механики, где пространственные координаты и время являются независимыми (время является абсолютным, т.е. течёт одинаково во всех системах отсчёта) и действуют преобразования Галилея, события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта. Другим следствием является то, что масса релятивистской механике также зависит от системы отсчёта.

Основные законы релятивистская механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

[править] Второй закон Ньютона в релятивистской механике

Сила определяется, как $F= \frac {d\overrightarrow {p}}{dt}$ , также известно выражение для релятивисткого импульса

$\overrightarrow {p}= \frac{m \overrightarrow {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}$ (1).

Таким образом, для определения силы, достаточно взять производную от выражения (1), по времени, получим:

$\frac {d\overrightarrow {p}}{dt}=m\gamma\overrightarrow {a}+m\gamma^3[\overrightarrow{\beta} (\overrightarrow {\beta} \overrightarrow {a} )]$ , где

$\overrightarrow{\beta}\equiv \frac {\overrightarrow{v}}{c}$

$\gamma \equiv \frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ .

Таким образом, сравнивая с ньютоновым выражением $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ , видно, что в релятивизме, кроме нормальной состовляющей силы, также есть и тангенциальная.

[править] Лагранжиан свободной частицы в релятивистской механике

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: $S= -\int_{a}^{b}\alpha ds$ , где $α$ -положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) $ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt$ , подставляя в интграл движения, находим: $S=- \int_{t_1}^{t_2} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}dt$ . Но, с другой сторны, интеграл движения, можно выразить через фунцию лагранжа: $S=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt$ . Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подъинтегральные выражения должны быть равны, т.е.:

$\mathcal{L}=- \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}$ .

Далее, разложим последнее выражение по степеням $\frac{v}{c}$ , получим:

$\mathcal{L}\simeq \alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}$ , первый член разложения независит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравниния движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением лагранжиана: $\frac{m v^2}{2}$ , нетрудно определить константу $α$ :