Преобразования Галилея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Преобразования Галилея — в классической механике (механике Ньютона)преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой.

[править] Вид преобразований при коллинеарных осях

Если ИСО S' движется относительно ИСО S с постоянной скоростью $u \$ вдоль оси $x \$ , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

$x' = x + u t , \$ ${y'} = y , \$ ${z'} = z , \$ $t' = t \$

Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах:

$v' = v + u , \$ $a' = a \$

Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростей $u \ll c$ .

[править] Принцип относительности

$\begin{matrix} \vec r = \vec r_o - \vec {r'}\;\;\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\(\vec r - \Delta\vec r) = (\vec r_o + \Delta\vec r_o) - (\vec {r'}+ \Delta\vec {r'})\\ \frac{\vec r}{\Delta{t}} = \frac{\vec r_o}{\Delta{t}}+ \frac{\vec {r'}}{\Delta{t}}\;\;\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\end{matrix}{\Bigg\rangle} \quad \Rightarrow \quad <\vec V> \;=\; <\vec V_o>\; +\; <\vec{V'}>$

Где:

$<\vec V>$ - средняя скорость тела A относительно системы k' ;
$<\vec V'>$ - средняя скорость тела А относительно системы k;
$<\vec V_o>$ - средняя скорость системы k' относительно системы k.

Если $\Delta t \rightarrow 0$ то средние скорости совпадают с мгновенными:

$\vec V \;= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\; <\vec V_o>+<\vec{V'}> = \vec V_o + \vec{V'}$

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую:

$\vec a = \vec {a'} + \vec{a_o}$

Из формулы для ускорений следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, те $\ a_o = o$ то ускорение $\vec a$ тела относительно обоих систем отсчета одинаково, - принцип относительности Галилея.