Сопряжённое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Сопряжённое пространство, двойственное пространство в алгебре и функциональном анализе — термин, применяющийся при описании двойственности линейных пространств. Как правило, под сопряжённым пространством понимают линейно-сопряжённое пространство — пространство линейных функционалов.

[править] Линейно-сопряжённое пространство — определение

Для линейных функционалов на линейном пространстве E можно определить операции сложения и умножения на число:

• 
• 

Эти определения удовлетворяют аксиомам линейного пространства. То есть, совокупность всех линейных функционалов на E также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E, оно обычно обозначается E ^* . В конечномерном случае сопряжённое пространство E ^* имеет ту же размерность что и пространство E. Обычно элементы пространства E обозначают вектором-строкой, а элементы E ^* — вектором-столбцом. В тензорном исчислении применяется обозначение x^k для элементов E (верхний, или контравариантный индекс) и x_k для элементов E ^* (нижний, или ковариантный индекс).

Верно также что пространство, сопряжённое к сопряжённому E ^{* *} , совпадает с E.

[править] Трудности в бесконечномерном случае

Попытка прямо применить вышеприведённое определение в случае бесконечномерных линейных пространств приводит к неконструктивным и малополезным алгебраически сопряжённым пространствам. Для важного случая топологических линейных пространств рассматриваются топологически сопряжённые пространства, состоящие только из непрерывных функционалов. Однако, для топологического линейного сопряжения, пространство, сопряжённое к сопряжённому, вообще говоря, с исходным не совпадает. Пространства, для которых E ^{* *} = E называются рефлексивными — только для них, строго говоря, можно употреблять термин двойственное пространство.

[править] Комплексно-сопряжённое пространство

Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с E как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа (см. en:Complex conjugate vector space):

При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно- и комплексно-сопряжённые пространства совпадают.