Теория пределов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Число a называется пределом последовательности $x 1, x 2,..., x n,...$ если для любого $ε > 0$ существует N, такое что $\forall$ n>N, $| x n - a | < ε$ . Предел последовательности обозначается $\lim_n x_n$ . Куда именно стремится n, можно не указывать, поскольку если это натуральное число, то оно может стремиться только к $+\infty$ .

Свойства:

Если предел последовательности существует, то он единственный.
$\lim_n c = c$
$\lim_n (x_n + y_n) = \lim_n x_n + \lim_n y_n$ (если оба предела существуют)
$\lim_n (q x_n) = q \lim_n x_n$
$\lim_n (x_n * y_n) = \lim_n x_n \times \lim_n y_n$ (если оба предела существуют)
$\lim_n (x_n / y_n) = \lim_n x_n / \lim_n y_n$ (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
Если $a_n > x_n > b_n \forall n$ и $\lim_n a_n = \lim_n b_n$ , то $\lim_n x_n = \lim_n a_n = \lim_n b_n$ (теорема «о двух милиционерах»)

[править] Предел функции

Основная статья: Предел функции

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если $\forall \epsilon > 0$ существует $δ > 0$ , такое что $\forall x, 0 < |x-a| <\delta$ выполняется $| f (x) - b | < ε$ .

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например $\lim_{x\to x_0} (f(x)+ g(x))= \lim_{x\to x_0} f(x)+ \lim_{x\to x_0} g(x)$ , если все члены существуют.

[править] Обобщенное понятие предела последовательности

Пусть $X$ — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности $U$ (например метрическое пространство). Пусть $x_i \in X$ — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что $x \in X$ есть предел этой последовательности, если в любой окретности точки $x$ лежат почти все члены последовательности то есть $\forall U(x) \exist n \forall i>n x_i \in U(x)$